南京信息工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
6、求曲面 $z=x y^{3}$ 上一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，使得曲面过 $P_{0}$ 的法线垂直于平面 $x+3 y-z=1$ ，并求曲面过 $P_{0}$ 的法线方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出曲面的梯度与法向量
将曲面方程 $z = x y^3$ 改写为隐函数形式 $F(x,y,z) = x y^3 - z = 0$。计算梯度得法向量：
$$\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (y^3,\; 3x y^2,\; -1)$$
因此在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $\mathbf{n} = (y_0^3,\; 3x_0 y_0^2,\; -1)$。
公式：$\nabla F = (y^3,\; 3x y^2,\; -1)$
提示：注意隐函数形式中 $z$ 项要移到等号左边，梯度是偏导组成的向量。
步骤 2/5
目标：确定已知平面的法向量
给定平面方程为 $x + 3y - z = 1$，其法向量为 $\mathbf{n}_p = (1,\; 3,\; -1)$。
公式：$\mathbf{n}_p = (1, 3, -1)$
提示：平面方程 $Ax+By+Cz=D$ 的法向量为 $(A,B,C)$。
步骤 3/5
目标：利用法线垂直于平面的条件建立方程
法线垂直于平面等价于曲面的法向量与平面的法向量平行，即存在非零常数 $k$ 使得
$$(y_0^3,\; 3x_0 y_0^2,\; -1) = k (1,\; 3,\; -1)$$
由此得到三个等式：
$$y_0^3 = k \tag{1}$$ $$3x_0 y_0^2 = 3k \tag{2}$$ $$-1 = -k \tag{3}$$
公式：$(y_0^3,\; 3x_0 y_0^2,\; -1) = k(1,3,-1)$
提示：平行意味着对应分量成比例，注意 $k$ 不能为零。
步骤 4/5
目标：解出点坐标
由 (3) 得 $k=1$。代入 (1) 得 $y_0^3 = 1$，所以 $y_0 = 1$。代入 (2) 得 $3x_0 \cdot 1^2 = 3$，即 $3x_0 = 3$，所以 $x_0 = 1$。再由曲面方程 $z_0 = x_0 y_0^3 = 1 \cdot 1 = 1$。因此所求点为 $P_0(1,1,1)$。
公式：$y_0^3=1,\; 3x_0=3,\; z_0=x_0 y_0^3$
提示：注意依次代入，不要遗漏曲面方程求 $z_0$。
步骤 5/5
目标：写出法线方程
法向量为 $(1,3,-1)$，过点 $(1,1,1)$，法线的对称式方程为
$$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{-1}$$
公式：$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{-1}$
提示：法线方程的分母是法向量的分量，注意符号。
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