南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断极限类型
当 \(x \to 0\) 时，\(\frac{\sin x}{x} \to 1\)，指数 \(\frac{1}{x^2} \to +\infty\)，因此该极限为 \(1^\infty\) 型未定式。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
提示：注意 \(1^\infty\) 型不能直接代入，需取对数处理。
步骤 2/5
目标：取自然对数转化极限
设 \(L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}\)，两边取自然对数得：
\[
\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{x} \right)
\]
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\sin x / x)}{x^2}
提示：取对数后转化为 \(0/0\) 型或可展开形式。
步骤 3/5
目标：对 \(\ln(\sin x / x)\) 进行泰勒展开
当 \(x \to 0\) 时，\(\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\)，代入对数展开：
\[
\ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)
\]
公式：\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \cdots, \quad u = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)
提示：注意展开到 \(x^2\) 项即可，高阶项不影响极限。
步骤 4/5
目标：代入并计算极限
将展开式代入 \(\ln L\) 的表达式：
\[
\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{6} + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} + O(x^2) \right) = -\frac{1}{6}
\]
公式：\lim_{x \to 0} \frac{O(x^4)}{x^2} = 0
提示：注意 \(O(x^4)/x^2 = O(x^2) \to 0\)。
步骤 5/5
目标：还原原极限
由 \(\ln L = -\frac{1}{6}\)，得 \(L = e^{-1/6}\)。
公式：L = e^{\ln L} = e^{-1/6}
提示：最终结果需写为指数形式。
步骤 6/6
目标：还原原极限
由 $\ln L = -\frac{1}{6}$ 得 $L = e^{-1/6}$。
公式：$L = e^{-\frac{1}{6}}$
提示：注意指数运算，$L = e^{\ln L}$。
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