📝 南京信息工程大学 2025年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

2、 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．

3、 $f(x)=\int_{0}^{x} e^{y^{2}-2 y} d y$ ，计算积分 $I=\int_{0}^{1}(x-1)^{2} f(x) d x$ ．

4、级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n-1}{n} x^{2 n}$ ，求级数的收玫域与和函数．

5、求曲面 $x+2 y-1=0$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近点的坐标．

6、求二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{2 a-x}}(a>0), D$ 是 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ 与坐标轴相切的较短弧与坐标轴围成区域。

七、（15 分）计算曲面积分

$$
I=\iint_{\Omega} \frac{x d y d z+(1+z)^{2} d x d y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},
$$

其中 $\displaystyle \Omega$ 为下半球面 $\displaystyle z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ ，方向取上侧．

三、（15 分）$\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内二阶连续偏导数，

二、（10 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有有界导函数，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x \ln x}=0$ ．

五、（20 分）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上一致收敛性和内闭一致收敛性．

六、（15 分）$\displaystyle f(t)=\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \cdot \frac{\cos x}{x^{2}} d x$ ．
（9 分）1、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（6 分）2、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微。

四、（15 分）判断二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, \quad x^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性与可微性．