南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、求曲面 $x+2 y-1=0$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近点的坐标．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题与约束条件
题目要求曲面 $x+2y-1=0$（平面）与 $x^2+2y^2+z^2=1$（椭球面）的交线上距离原点最近的点。设目标函数为距离平方 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，约束条件为 $\varphi_1(x,y,z)=x+2y-1=0$ 和 $\varphi_2(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-1=0$。
公式：f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, \quad \varphi_1=0, \quad \varphi_2=0
提示：使用距离平方代替距离可简化求导计算，避免根号。
步骤 2/7
目标：构造拉格朗日函数
引入两个拉格朗日乘数 $\lambda$ 和 $\mu$，构造拉格朗日函数：
$$L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y - 1) + \mu (x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)$$
公式：L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y - 1) + \mu (x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)
提示：注意有两个约束条件，因此需要两个乘数。
步骤 3/7
目标：求偏导数并令其为零
对 $L$ 分别求关于 $x, y, z$ 的偏导数，并令其等于0：
\begin{align*}
\frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + \lambda + 2\mu x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(1+\mu) + \lambda = 0 \quad (1) \\
\frac{\partial L}{\partial y} &= 2y + 2\lambda + 4\mu y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y(1+2\mu) + 2\lambda = 0 \quad (2) \\
\frac{\partial L}{\partial z} &= 2z + 2\mu z = 0 \quad \Rightarrow \quad 2z(1+\mu) = 0 \quad (3)
\end{align*}
公式：\frac{\partial L}{\partial x}=0, \frac{\partial L}{\partial y}=0, \frac{\partial L}{\partial z}=0
提示：求导时注意链式法则，$\mu$ 项对 $x$ 的导数为 $2\mu x$。
步骤 4/7
目标：讨论情况一：$\mu = -1$
由(3)式，若 $\mu = -1$，代入(1)得 $\lambda = 0$，代入(2)得 $-2y=0$，即 $y=0$。再由平面方程 $x+2y-1=0$ 得 $x=1$，代入椭球方程得 $z=0$。得到候选点 $(1,0,0)$。
公式：\mu = -1 \Rightarrow \lambda=0, y=0, x=1, z=0
提示：注意检查 $\mu=-1$ 时(3)式自动满足，但需验证是否满足所有方程。
步骤 5/7
目标：讨论情况二：$z=0$
由(3)式，若 $z=0$，则(3)自动满足。由(1)和(2)消去 $\lambda$：
由(1)得 $\lambda = -2x(1+\mu)$，由(2)得 $\lambda = -y(1+2\mu)$，令两式相等得：
$$2x(1+\mu) = y(1+2\mu) \quad (4)$$
再加上平面方程 $x+2y=1 \quad (5)$ 和椭球方程（$z=0$）$x^2+2y^2=1 \quad (6)$。
公式：z=0, \quad 2x(1+\mu)=y(1+2\mu), \quad x+2y=1, \quad x^2+2y^2=1
提示：消去 $\lambda$ 时注意符号，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：解方程组求候选点
由(5)得 $x=1-2y$，代入(6)：
$$(1-2y)^2 + 2y^2 = 1 \Rightarrow 1 - 4y + 4y^2 + 2y^2 = 1 \Rightarrow -4y + 6y^2 = 0 \Rightarrow 2y(3y-2)=0$$
解得 $y=0$ 或 $y=\frac{2}{3}$。
- 若 $y=0$，则 $x=1$，得点 $(1,0,0)$（与情况一重复）。
- 若 $y=\frac{2}{3}$，则 $x=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，得点 $(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0)$。
公式：y=0 \text{ 或 } y=\frac{2}{3} \Rightarrow x=1 \text{ 或 } x=-\frac{1}{3}
提示：解二次方程时注意因式分解，不要遗漏解。
步骤 7/7
目标：比较距离并确定最近点
计算各候选点到原点的距离平方：
- 点 $(1,0,0)$：$d^2 = 1^2+0^2+0^2 = 1$。
- 点 $(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0)$：$d^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 0^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} < 1$。
因此最近点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$。
公式：d^2 = x^2+y^2+z^2, \quad \frac{5}{9} < 1
提示：距离平方比较即可，无需开方。
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