南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、（10 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有有界导函数，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x \ln x}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件并转化为数学语言
已知函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有有界导函数，即存在常数 $M > 0$，使得对任意 $x > 0$，有 $|f'(x)| \le M$。需要证明 $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x \ln x} = 0$。
公式：|f'(x)| \le M, \quad \forall x > 0
提示：注意导函数有界是全局性质，不要与局部有界混淆。
步骤 2/6
目标：利用拉格朗日中值定理估计 f(x) 的增长速度
取固定点 $x=1$，对任意 $x > 1$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (1, x)$ 使得 $f(x) - f(1) = f'(\xi)(x-1)$。于是 $|f(x)| \le |f(1)| + M(x-1) \le |f(1)| + Mx$。
公式：|f(x)| \le |f(1)| + Mx, \quad \forall x > 1
提示：中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里显然满足。
步骤 3/6
目标：将待证极限的绝对值进行放缩
对于 $x > 1$，有 $\left| \dfrac{f(x)}{x \ln x} \right| \le \dfrac{|f(1)| + Mx}{x \ln x} = \dfrac{|f(1)|}{x \ln x} + \dfrac{M}{\ln x}$。
公式：\left| \frac{f(x)}{x \ln x} \right| \le \frac{|f(1)|}{x \ln x} + \frac{M}{\ln x}
提示：放缩时注意分母 $x \ln x > 0$，不等式方向不变。
步骤 4/6
目标：分别计算两项的极限
当 $x \to \infty$ 时，$\dfrac{|f(1)|}{x \ln x} \to 0$（因为分母趋于无穷大），$\dfrac{M}{\ln x} \to 0$（因为 $\ln x \to \infty$）。
公式：\lim_{x \to \infty} \frac{|f(1)|}{x \ln x} = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{M}{\ln x} = 0
提示：注意 $\ln x$ 的增长速度慢于任何正幂次，但这里只需它趋于无穷即可。
步骤 5/6
目标：应用夹逼定理得出结论
由夹逼定理，$\lim\limits_{x \to \infty} \left| \dfrac{f(x)}{x \ln x} \right| = 0$，从而 $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x \ln x} = 0$。
公式：\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x \ln x} = 0
提示：绝对值极限为零等价于原函数极限为零。
步骤 6/6
目标：补充说明定义域问题
题目定义域为 $(0, +\infty)$，但极限过程 $x \to \infty$ 只考虑充分大的 $x$，因此只需考虑 $x > 1$ 的情形，不影响结论。
提示：对数函数在 $(0,1)$ 内为负，但极限行为由无穷远处决定。
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