南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6、求二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{2 a-x}}(a>0), D$ 是 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ 与坐标轴相切的较短弧与坐标轴围成区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域D的形状和范围
圆方程为 $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$，圆心$(a,a)$，半径$a$，与坐标轴切于$(a,0)$和$(0,a)$。较短弧指靠近原点的圆弧，对应$y=a-\sqrt{a^2-(x-a)^2}$。因此区域D为：$0\le x\le a$，$0\le y\le a-\sqrt{a^2-(x-a)^2}$。
公式：y = a - \sqrt{a^2-(x-a)^2}, \quad x\in[0,a]
提示：注意圆与坐标轴相切，切点坐标容易确定；较短弧是指第一象限内凹向原点的部分。
步骤 2/6
目标：将二重积分化为累次积分
由于被积函数$\frac{1}{\sqrt{2a-x}}$与$y$无关，先对$y$积分：
$$I=\int_{x=0}^{a}\int_{y=0}^{a-\sqrt{a^2-(x-a)^2}}\frac{1}{\sqrt{2a-x}}\,dy\,dx$$
内层积分结果为$\frac{1}{\sqrt{2a-x}}\cdot\left(a-\sqrt{a^2-(x-a)^2}\right)$。
公式：I = \int_0^a \frac{a-\sqrt{a^2-(x-a)^2}}{\sqrt{2a-x}}\,dx
提示：先对y积分时，被积函数视为常数，只需乘以y的区间长度。
步骤 3/6
目标：化简被积函数中的根式
计算$\sqrt{a^2-(x-a)^2}$：
$$a^2-(x-a)^2 = a^2-(x^2-2ax+a^2)=2ax-x^2=x(2a-x)$$
所以$\sqrt{a^2-(x-a)^2}=\sqrt{x(2a-x)}$。代入得：
$$I=\int_0^a \frac{a-\sqrt{x(2a-x)}}{\sqrt{2a-x}}\,dx$$
公式：\sqrt{a^2-(x-a)^2} = \sqrt{x(2a-x)}
提示：注意完全平方展开的符号，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：拆分积分并简化第二项
将积分拆为两项：
$$I = a\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{2a-x}} - \int_0^a\frac{\sqrt{x(2a-x)}}{\sqrt{2a-x}}\,dx$$
第二项中$\frac{\sqrt{x(2a-x)}}{\sqrt{2a-x}}=\sqrt{x}$，因此：
$$I = a\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{2a-x}} - \int_0^a\sqrt{x}\,dx$$
公式：\frac{\sqrt{x(2a-x)}}{\sqrt{2a-x}} = \sqrt{x}
提示：约分时注意定义域$x\in[0,a]$，$2a-x>0$，可安全约去。
步骤 5/6
目标：计算两个定积分
第一个积分：
$$\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{2a-x}} = \left[-2\sqrt{2a-x}\right]_0^a = -2(\sqrt{a}-\sqrt{2a}) = 2(\sqrt{2a}-\sqrt{a})$$
乘以$a$得：$2a(\sqrt{2a}-\sqrt{a})$。
第二个积分：
$$\int_0^a\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}a^{3/2}$$
公式：\int \frac{dx}{\sqrt{2a-x}} = -2\sqrt{2a-x}+C, \quad \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}+C
提示：计算定积分时注意代入上下限的顺序，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：合并结果并化简
$$I = 2a(\sqrt{2a}-\sqrt{a}) - \frac{2}{3}a^{3/2}$$
将$\sqrt{a}$提出：$2a\sqrt{a}=2a^{3/2}$，$2a\sqrt{2a}=2\sqrt{2}a^{3/2}$，所以：
$$I = a^{3/2}\left(2\sqrt{2} - 2 - \frac{2}{3}\right) = a^{3/2}\left(2\sqrt{2} - \frac{8}{3}\right)$$
公式：I = a^{3/2}\left(2\sqrt{2}-\frac{8}{3}\right)
提示：合并常数项时注意通分：$2 = \frac{6}{3}$，所以$-2-\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$。
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