南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、 $f(x)=\int_{0}^{x} e^{y^{2}-2 y} d y$ ，计算积分 $I=\int_{0}^{1}(x-1)^{2} f(x) d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用分部积分法化简积分
令 $u = f(x)$，$dv = (x-1)^2 dx$，则 $du = f'(x) dx = e^{x^2 - 2x} dx$，$v = \int (x-1)^2 dx = \frac{(x-1)^3}{3}$。由分部积分公式 $\int_0^1 u dv = [uv]_0^1 - \int_0^1 v du$，计算边界项：在 $x=1$ 时 $v(1)=0$，在 $x=0$ 时 $u(0)=f(0)=0$，故边界项为零。因此 $I = -\int_0^1 \frac{(x-1)^3}{3} e^{x^2-2x} dx$。
公式：\int_0^1 u dv = [uv]_0^1 - \int_0^1 v du
提示：注意 $f(0)=0$ 和 $v(1)=0$ 使得边界项整体为零，避免遗漏符号。
步骤 2/5
目标：化简被积函数中的多项式因子
注意到 $(x-1)^3 = -(1-x)^3$，代入得 $I = -\int_0^1 \frac{-(1-x)^3}{3} e^{x^2-2x} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 (1-x)^3 e^{x^2-2x} dx$。
公式：(x-1)^3 = -(1-x)^3
提示：符号变换要仔细，负负得正。
步骤 3/5
目标：换元简化指数函数
指数部分 $x^2-2x = (x-1)^2 - 1$，故 $e^{x^2-2x} = e^{-1} e^{(x-1)^2}$。令 $t = 1-x$，则 $x=1-t$，$dx = -dt$，积分限：$x=0$ 时 $t=1$，$x=1$ 时 $t=0$。代入得 $I = \frac{1}{3} \int_1^0 t^3 e^{-1} e^{t^2} (-dt) = \frac{1}{3e} \int_0^1 t^3 e^{t^2} dt$。
公式：e^{x^2-2x} = e^{-1} e^{(x-1)^2}, \quad t = 1-x
提示：换元时注意积分限的变化和负号的处理。
步骤 4/5
目标：计算积分 $\int_0^1 t^3 e^{t^2} dt$
令 $u = t^2$，则 $du = 2t dt$，即 $t dt = du/2$，且 $t^3 = t^2 \cdot t = u \cdot t$，故 $t^3 e^{t^2} dt = u e^u \cdot \frac{du}{2}$。积分限：$t=0$ 时 $u=0$，$t=1$ 时 $u=1$。于是 $\int_0^1 t^3 e^{t^2} dt = \frac12 \int_0^1 u e^u du$。
公式：u = t^2, \quad du = 2t dt
提示：注意 $t^3$ 分解为 $t^2 \cdot t$ 以匹配 $du$。
步骤 5/5
目标：计算 $\int_0^1 u e^u du$ 并得出最终结果
用分部积分：令 $p = u$，$dq = e^u du$，则 $dp = du$，$q = e^u$，$\int_0^1 u e^u du = [u e^u]_0^1 - \int_0^1 e^u du = (1 \cdot e - 0) - (e - 1) = 1$。因此 $\int_0^1 t^3 e^{t^2} dt = \frac12 \cdot 1 = \frac12$。代入得 $I = \frac{1}{3e} \cdot \frac12 = \frac{1}{6e}$。
公式：\int_0^1 u e^u du = 1, \quad I = \frac{1}{6e}
提示：分部积分时注意上下限代入计算，避免算术错误。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将上一步结果代入：$I = \frac{1}{3e} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6e}$。
公式：I = \frac{1}{6e}
提示：最终结果需化简为最简分数形式。
步骤 7/7
目标：代回得到最终结果
将积分值代入\(I\)的表达式：
\[I = -\frac{1}{3e} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6e}.\]
公式：\[I = \frac{1}{6e}\]
提示：注意负号的处理。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
代入分部积分结果：
\[ I = -\frac{1}{6e} \cdot (-1) = \frac{1}{6e} \]
提示：最后结果为正数，注意检查符号。
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