南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）$\displaystyle f(t)=\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \cdot \frac{\cos x}{x^{2}} d x$ ．
（9 分）1、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（6 分）2、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确含参积分形式
根据题目条件，将函数写为含参积分形式：
\[
f(t)=\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-tx}\cos x}{x^2}\,dx,\quad t\ge 0.
\]
公式：f(t)=\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-tx}\cos x}{x^2}\,dx
提示：注意原题可能排版有误，应含参数t，否则无意义。
步骤 2/5
目标：证明积分在[0,+∞)上一致收敛
应用Weierstrass判别法。对于任意t≥0和x≥1，有
\[
\left|\frac{e^{-tx}\cos x}{x^2}\right| \le \frac{e^{-tx}}{x^2} \le \frac{1}{x^2},
\]
因为e^{-tx}≤1。而积分
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx
\]
收敛（值为1）。因此原积分关于t∈[0,+∞)一致收敛。
公式：\left|\frac{e^{-tx}\cos x}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2},\quad \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \text{ 收敛}
提示：优函数必须与参数t无关，且本身积分收敛。
步骤 3/5
目标：形式求导得到导数表达式
对参数t形式求导，交换积分与求导次序（待验证）：
\[
f'(t) = \int_{1}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{e^{-tx}\cos x}{x^2}\right) dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{-x e^{-tx}\cos x}{x^2} dx = -\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-tx}\cos x}{x} dx.
\]
公式：f'(t) = -\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-tx}\cos x}{x}\,dx
提示：求导后分母次数降低，需重新判断收敛性。
步骤 4/5
目标：验证导数积分的一致收敛性
考虑积分
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-tx}\cos x}{x}\,dx.
\]
对于任意t≥0，令g(x,t)=e^{-tx}/x，它在x≥1上关于x单调递减趋于0，且对t一致有界（0≤g(x,t)≤1/x）。而
\[
\left|\int_{1}^{B} \cos x\,dx\right| \le 2,
\]
有界。由Dirichlet判别法（含参形式），该积分关于t∈[0,+∞)一致收敛。
公式：\left|\int_{1}^{B} \cos x\,dx\right| \le 2,\quad g(x,t)\text{单调递减趋于0}
提示：Dirichlet判别法要求函数单调趋于0且另一因子积分有界，且单调性对参数一致。
步骤 5/5
目标：应用含参积分可微性定理
原积分f(t)在[0,+∞)上一致收敛（第一问），且求导后的积分也在[0,+∞)上一致收敛，因此求导与积分次序可交换，f(t)在[0,+∞)上可微，且导数即为上述表达式。
公式：f'(t) = -\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-tx}\cos x}{x}\,dx,\quad t\ge 0
提示：可微性定理的条件：原积分收敛，求导后积分一致收敛。
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