南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n-1}{n} x^{2 n}$ ，求级数的收玫域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定收敛域：变量代换与收敛半径
令 $t = x^2$，则原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n-1}{n} t^n$。系数 $a_n = (-1)^n \frac{n-1}{n}$，其绝对值 $|a_n| = \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$。由根值法，$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1 - \frac{1}{n}} = 1$，故收敛半径 $R_t = 1$，即 $|t| < 1$ 时绝对收敛。
公式：$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$
提示：注意 $|a_n| \to 1$，根值法直接得到半径为1，无需比值法。
步骤 2/7
目标：确定收敛域：端点检验
当 $t = 1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n-1}{n}$，通项 $(-1)^n \frac{n-1}{n}$ 不趋于0（因为 $\frac{n-1}{n} \to 1$），故发散。当 $t = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n-1}{n} (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n}$，通项趋于1，发散。因此 $t$ 的收敛域为 $(-1, 1)$。
公式：通项不趋于0是发散的必要条件
提示：端点处通项极限不为0，直接判定发散，无需进一步判别。
步骤 3/7
目标：确定收敛域：回代到x
由 $t = x^2 \ge 0$，且 $t \in [0, 1)$，得 $x^2 < 1$，即 $|x| < 1$。故原级数收敛域为 $-1 < x < 1$。
公式：$x^2 < 1 \Rightarrow |x| < 1$
提示：注意 $t$ 非负，因此只取 $[0,1)$ 部分，对应 $x$ 的对称区间。
步骤 4/7
目标：求和函数：拆分级数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n-1}{n} x^{2n}$，$|x| < 1$。利用 $\frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$，得 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n x^{2n} - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{n}$。
公式：$\frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$
提示：拆分后两部分都是常见幂级数，便于求和。
步骤 5/7
目标：求和函数：计算第一部分
第一部分为等比级数：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-x^2)^n = \frac{-x^2}{1 + x^2}$，公比 $q = -x^2$，首项 $n=1$ 时为 $-x^2$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1-q}$，$|q|<1$
提示：注意首项从 $n=1$ 开始，代入公式时分子为 $q$ 而非 $1$。
步骤 6/7
目标：求和函数：计算第二部分
第二部分：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n}$。利用对数展开 $\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}$，$|u|<1$，令 $u = x^2$，得 $\ln(1+x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{n}$，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{n} = -\ln(1+x^2)$。
公式：$\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}$
提示：注意符号：$(-1)^n = -(-1)^{n-1}$，所以结果为负的对数。
步骤 7/7
目标：求和函数：合并结果
将两部分代入：$S(x) = \frac{-x^2}{1+x^2} - \left( -\ln(1+x^2) \right) = -\frac{x^2}{1+x^2} + \ln(1+x^2)$。因此和函数为 $S(x) = \ln(1+x^2) - \frac{x^2}{1+x^2}$，$|x| < 1$。
公式：$S(x) = \ln(1+x^2) - \frac{x^2}{1+x^2}$
提示：最终结果需化简，注意括号和符号。
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