南京信息工程大学 2025年数学分析第0题

下半球面方程为 $z = -\sqrt{1 - x^2 - y^2}$，且 $x^2 + y^2 \le 1$。方向取上侧，即法向量的 $z$ 分量大于 $0$。由于曲面是单位球面的一部分，有 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，因此分母 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$。原积分简化为： $$I = \iint_{\Omega} x \, dy dz + \iint_{\Omega} (1+z)^2 \, dx dy.$$

第二项为 $\iint_{\Omega} (1+z)^2 \, dx dy$。曲面取上侧，投影到 $xOy$ 平面区域 $D: x^2 + y^2 \le 1$，且投影为正。代入 $z = -\sqrt{1 - x^2 - y^2}$，得： $$\iint_{\Omega} (1+z)^2 \, dx dy = \iint_{D} \left(1 - \sqrt{1 - x^2 - y^2}\right)^2 \, dx dy.$$ 使用极坐标 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，$dx dy = r \, dr d\theta$，$0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$： $$= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \left(1 - \sqrt{1 - r^2}\right)^2 r \, dr.$$

令 $u = 1 - r^2$，则 $du = -2r \, dr$，$r \, dr = -\frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=1$，$r=1$ 时 $u=0$。积分变为： $$\int_0^1 \left(1 - \sqrt{1 - r^2}\right)^2 r \, dr = \int_1^0 (1 - \sqrt{u})^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - \sqrt{u})^2 \, du.$$ 展开 $(1 - \sqrt{u})^2 = 1 - 2u^{1/2} + u$，积分得： $$\frac{1}{2} \left[ u - \frac{4}{3}u^{3/2} + \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}.$$ 再乘以 $\theta$ 积分 $2\pi$，得第二项结果为 $\frac{\pi}{6}$。

采用球坐标参数化下半球面：$x = \sin\phi \cos\theta$, $y = \sin\phi \sin\theta$, $z = -\cos\phi$，其中 $\phi \in [0, \pi/2]$, $\theta \in [0, 2\pi)$。计算切向量叉积得法向量： $$\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta = (-\sin^2\phi \cos\theta, -\sin^2\phi \sin\theta, \cos\phi \sin\phi).$$ 其 $z$ 分量 $\cos\phi \sin\phi > 0$，对应上侧。面积元分量：$dy dz = -\sin^2\phi \cos\theta \, d\phi d\theta$。第一项积分化为： $$\iint_{\Omega} x \, dy dz = \int_{\phi=0}^{\pi/2} \int_{\theta=0}^{2\pi} (\sin\phi \cos\theta) \cdot (-\sin^2\phi \cos\theta) \, d\theta d\phi = -\int_0^{\pi/2} \int_0^{2\pi} \sin^3\phi \cos^2\theta \, d\theta d\phi.$$

先对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \pi$。于是第一项变为： $$-\pi \int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi.$$ 计算 $\sin^3\phi$ 的积分：$\sin^3\phi = \sin\phi (1 - \cos^2\phi)$，令 $t = \cos\phi$，$dt = -\sin\phi \, d\phi$，当 $\phi=0$ 时 $t=1$，$\phi=\pi/2$ 时 $t=0$： $$\int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi = \int_1^0 (1 - t^2)(-dt) = \int_0^1 (1 - t^2) \, dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ 因此第一项结果为 $-\pi \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2\pi}{3}$。

第一项结果为 $-\frac{2\pi}{3}$，第二项结果为 $\frac{\pi}{6}$。因此原曲面积分为： $$I = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}.$$

将 $I_1$ 和 $I_2$ 相加： $$I = I_1 + I_2 = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$$