南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：取对数转化极限表达式
设 \( a_n = \left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^n \)，取自然对数得 \( \ln a_n = n \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) \)。
公式：\ln a_n = n \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)
提示：取对数是处理幂指函数极限的常用方法，注意对数运算性质。
步骤 2/5
目标：对括号内表达式进行泰勒展开
令 \( x = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \)，当 \( n \to \infty \) 时 \( x \to 0 \)，利用 \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \) 展开：
\[ \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) = \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^2 + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
公式：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)
提示：泰勒展开时要注意展开到足够阶数，这里需要到 \( \frac{1}{n^2} \) 项。
步骤 3/5
目标：展开平方项并合并同类项
计算平方项：
\[ \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^2 = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4} \]
代入展开式：
\[ \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
合并 \( \frac{1}{n^2} \) 项：
\[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2n^2} \]
因此：
\[ \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
公式：\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)
提示：注意 \( O\left(\frac{1}{n^3}\right) \) 表示高阶无穷小，合并时不要遗漏。
步骤 4/5
目标：乘以 n 得到 ln a_n 的表达式
将上一步结果乘以 \( n \)：
\[ \ln a_n = n \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) = 1 + \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
公式：\ln a_n = 1 + \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
提示：乘以 n 时注意 \( n \cdot O(1/n^3) = O(1/n^2) \)，仍为无穷小。
步骤 5/5
目标：取极限并还原原表达式
当 \( n \to \infty \) 时，\( \frac{1}{2n} \to 0 \)，\( O\left(\frac{1}{n^2}\right) \to 0 \)，所以 \( \ln a_n \to 1 \)。因此 \( a_n \to e^1 = e \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \ln a_n = 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = e
提示：由对数连续性，极限可交换顺序，最终结果为 e。
步骤 6/6
目标：还原得到原极限值
由 $\ln L = 1$ 得 $L = e^1 = e$。因此原极限为 $e$。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^n = e
提示：最后一步不要忘记还原指数，$L = e^{\ln L}$。
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