南京信息工程大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）判断二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, \quad x^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性与可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断函数在原点处的连续性
函数在 $(0,0)$ 处连续需要满足 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。考虑 $|f(x,y)| = \frac{|x||y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$，利用不等式 $|x||y| \le \frac{x^2+y^2}{2}$，得到 $\frac{|x||y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，右边趋于 $0$，由夹逼定理得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0$，因此函数在原点连续。
公式：|f(x,y)| \le \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}
提示：注意使用不等式放缩时，要确保分母不为零，此处 $x^2+y^2 \neq 0$ 时成立，极限过程不影响。
步骤 2/4
目标：计算一阶偏导数在原点处的值
按偏导定义：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h}=0$；同理 $f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0$。因此两个一阶偏导都存在且为 $0$。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：计算偏导时，注意 $f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{\sqrt{h^2+0}}=0$，不要误用表达式。
步骤 3/4
目标：用可微定义验证函数在原点是否可微
函数在原点可微需满足 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入已知值得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^2+k^2}$。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^2+k^2}
提示：注意化简后分母是 $h^2+k^2$，分子是 $hk$，这是一个典型的路径依赖极限。
步骤 4/4
目标：判断极限是否存在
取路径 $k = m h$，则 $\frac{h \cdot mh}{h^2 + m^2 h^2} = \frac{m}{1+m^2}$。该值依赖于 $m$，例如沿 $k=h$（$m=1$）得 $\frac{1}{2}$，沿 $k=0$（$m=0$）得 $0$，因此极限不存在。故原极限不为 $0$，函数在原点不可微。
公式：\frac{hk}{h^2+k^2} = \frac{m}{1+m^2} \quad (k=mh)
提示：判断多元函数极限不存在时，常用取不同路径的方法，注意路径必须经过原点且 $h,k$ 不同时为零。
步骤 5/6
目标：判断极限是否存在
取路径 $k = h$，则极限值为 $\frac{h^2}{h^2+h^2} = \frac{1}{2}$；取路径 $k = 0$，则极限值为 $0$。不同路径极限不同，因此该极限不存在。
公式：沿 $k=h$：$\frac{h^2}{2h^2}=\frac12$；沿 $k=0$：$0$
提示：多元函数极限存在必须沿所有路径趋于同一值，选取两条不同路径即可证明极限不存在。
步骤 6/6
目标：得出可微性结论
由于极限不存在，不满足可微定义，因此函数 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 处不可微。
公式：无
提示：可微的必要条件是偏导存在，但偏导存在不一定可微，还需验证全微分的极限是否为0。
步骤 7/7
目标：得出可微性结论
由于可微定义中的极限不存在，函数在原点不可微。
提示：偏导存在是可微的必要条件，但不是充分条件，还需验证全微分定义。
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