南京信息工程大学 2025年数学分析第0题

已知 $F(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且 $F(x_0,y_0)=0$，$F_y(x_0,y_0) \neq 0$。根据隐函数定理，存在 $(x_0,y_0)$ 的一个邻域，使得方程 $F(x,y)=0$ 唯一确定一个连续可微函数 $y=y(x)$，满足 $y(x_0)=y_0$，且在该邻域内恒有 $F(x, y(x)) = 0$。

对恒等式 $F(x, y(x)) = 0$ 两边关于 $x$ 求导，由链式法则得： $$F_x(x, y(x)) + F_y(x, y(x)) \cdot y'(x) = 0.$$ 代入 $x=x_0$，并利用 $y(x_0)=y_0$，得： $$F_x(x_0,y_0) + F_y(x_0,y_0) \cdot y'(x_0) = 0.$$ 由于 $F_y(x_0,y_0) \neq 0$，解出： $$y'(x_0) = -\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}.$$

由一阶导数公式 $y'(x) = -\frac{F_x(x, y(x))}{F_y(x, y(x))}$，两边再对 $x$ 求导。注意 $F_x$ 和 $F_y$ 都是 $x$ 和 $y(x)$ 的函数，因此要用商的求导法则和链式法则： $$y''(x) = -\frac{\frac{d}{dx}[F_x] \cdot F_y - F_x \cdot \frac{d}{dx}[F_y]}{(F_y)^2}.$$ 其中： $$\frac{d}{dx}F_x = F_{xx} + F_{xy} y'(x), \quad \frac{d}{dx}F_y = F_{yx} + F_{yy} y'(x).$$ 由于二阶偏导连续，有 $F_{xy}=F_{yx}$。

将导数代入并化简分子： $$y''(x) = -\frac{F_{xx}F_y + F_{xy}y'F_y - F_xF_{yx} - F_xF_{yy}y'}{F_y^2}.$$ 利用 $F_{xy}=F_{yx}$ 合并含 $F_{xy}$ 的项： $$y''(x) = -\frac{F_{xx}F_y - F_xF_{yx} + y'(F_{xy}F_y - F_xF_{yy})}{F_y^2}.$$

记 $F_x^0 = F_x(x_0,y_0)$，$F_y^0 = F_y(x_0,y_0)$，以及 $y'(x_0) = -\frac{F_x^0}{F_y^0}$，代入得： $$y''(x_0) = -\frac{F_{xx}^0 F_y^0 - F_x^0 F_{yx}^0 + \left(-\frac{F_x^0}{F_y^0}\right)(F_{xy}^0 F_y^0 - F_x^0 F_{yy}^0)}{(F_y^0)^2}.$$ 化简括号内： $$-\frac{F_x^0}{F_y^0} \cdot (F_{xy}^0 F_y^0 - F_x^0 F_{yy}^0) = -F_x^0 F_{xy}^0 + \frac{(F_x^0)^2 F_{yy}^0}{F_y^0}.$$ 于是分子变为： $$F_{xx}^0 F_y^0 - F_x^0 F_{yx}^0 - F_x^0 F_{xy}^0 + \frac{(F_x^0)^2 F_{yy}^0}{F_y^0}.$$ 由于 $F_{yx}^0 = F_{xy}^0$，中间两项合并为 $-2F_x^0 F_{xy}^0$。

将分子通分 $F_y^0$： $$y''(x_0) = -\frac{\frac{F_{xx}^0 (F_y^0)^2 - 2F_x^0 F_{xy}^0 F_y^0 + (F_x^0)^2 F_{yy}^0}{F_y^0}}{(F_y^0)^2} = -\frac{F_{xx}^0 (F_y^0)^2 - 2F_x^0 F_{xy}^0 F_y^0 + (F_x^0)^2 F_{yy}^0}{(F_y^0)^3}.$$ 这就是隐函数二阶导数的标准公式，所有偏导数均在 $(x_0,y_0)$ 处取值。

本题主要考察隐函数求导及二阶导数的计算，以及利用二阶导数判断极值。关键在于正确应用链式法则和商法则，并注意混合偏导数的相等条件。