南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
七．证明：函数 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 满足方程 $\displaystyle x y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0$ ．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出函数并明确目标
已知函数 $y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^2}$，要证明它满足微分方程 $x y'' + y' - y = 0$。
公式：$y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^2}$
提示：注意求和从 $n=0$ 开始，第一项为常数1。
步骤 2/8
目标：求一阶导数 $y'$
对幂级数逐项求导：
$y' = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{(n!)^2}$
利用 $n! = n \cdot (n-1)!$ 化简系数：
$\frac{n}{(n!)^2} = \frac{1}{n! (n-1)!}$
所以 $y' = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n! (n-1)!}$
令 $m = n-1$，得 $y' = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)! m!}$
公式：$y' = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)! m!}$
提示：注意 $n=0$ 项导数为0，求和从 $n=1$ 开始；换指标后不要忘记检查下限。
步骤 3/8
目标：求二阶导数 $y''$
对 $y'$ 逐项求导：
$y'' = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1) x^{n-2}}{(n!)^2}$
当 $n=1$ 时该项为0，实际从 $n=2$ 开始。化简系数：
$\frac{n(n-1)}{(n!)^2} = \frac{1}{(n-2)! n!}$
所以 $y'' = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{(n-2)! n!}$
令 $m = n-2$，得 $y'' = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{m! (m+2)!}$
公式：$y'' = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{m! (m+2)!}$
提示：化简系数时注意 $(n!)^2 = [n(n-1)(n-2)!]^2$，约分后要仔细验证。
步骤 4/8
目标：构造 $x y''$ 并调整指数
$x y'' = x \cdot \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{m! (m+2)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m+1}}{m! (m+2)!}$
令 $k = m+1$，则 $m = k-1$，得
$x y'' = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k-1)! (k+1)!}$
公式：$x y'' = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k-1)! (k+1)!}$
提示：调整指数是为了与 $y'$ 和 $y$ 的幂次统一为 $x^k$。
步骤 5/8
目标：写出 $y'$ 和 $y$ 的 $k$ 形式
由第二步：$y' = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)! m!}$，令 $k=m$，得
$y' = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k+1)! k!}$
由原函数：$y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^2}$，令 $k=n$，得
$y = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k!)^2}$
公式：$y' = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k+1)! k!}, \quad y = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k!)^2}$
提示：注意 $y'$ 和 $y$ 的求和都从 $k=0$ 开始。
步骤 6/8
目标：合并级数并验证常数项
$x y'' + y' - y = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k-1)! (k+1)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k+1)! k!} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k!)^2}$
常数项（$k=0$）：$x y''$ 无常数项，$y'$ 的 $k=0$ 项为 $\frac{1}{1! \cdot 0!}=1$，$y$ 的 $k=0$ 项为 $\frac{1}{(0!)^2}=1$，所以常数项为 $0+1-1=0$。
公式：常数项：$0+1-1=0$
提示：注意 $0! = 1$，不要忘记检查常数项。
步骤 7/8
目标：合并 $k \ge 1$ 的系数并化简
对于 $k \ge 1$，第 $k$ 项系数为
$\frac{1}{(k-1)! (k+1)!} + \frac{1}{(k+1)! k!} - \frac{1}{(k!)^2}$
前两项通分：
$\frac{1}{(k+1)!}\left(\frac{1}{(k-1)!} + \frac{1}{k!}\right) = \frac{1}{(k+1)!} \cdot \frac{k+1}{k!} = \frac{1}{k! k!} = \frac{1}{(k!)^2}$
因此前两项减去第三项得 $\frac{1}{(k!)^2} - \frac{1}{(k!)^2} = 0$。
公式：$\frac{1}{(k-1)! (k+1)!} + \frac{1}{(k+1)! k!} = \frac{1}{(k!)^2}$
提示：通分时注意 $(k-1)! = \frac{k!}{k}$，$k! = k!$，合并后分子为 $k+1$。
步骤 8/8
目标：得出结论
所有项的系数均为0，因此 $x y'' + y' - y = 0$ 对所有使级数收敛的 $x$ 成立。证毕。
公式：$x y'' + y' - y = 0$
提示：本题主要考察幂级数逐项求导和代数化简，注意指标变换的准确性。
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