📝 南京师范大学 2010年数学分析真题

七．证明：函数 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 满足方程 $\displaystyle x y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0$ ．（15 分）

三．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}-e^{-e x}}{x} d x$ ．（10 分）

九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](b>a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{(b+a) f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}$ 。（15 分）

二．（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，求证 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）试举例说明：（1）中开区间若无＂有限＂条件，则结论不成立．（20 分）

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, A]$ 上连续，证明：

$$
\left.\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{\infty}[f(t+h)-f(t)] d t=f(x)-f a\right) \quad(a<x<A) . \quad(15 \text { 分 })
$$

八．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$.
（2）证明：不存在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\sqrt{f(x)} \leq 0$ 。（20 分）

六．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成的区域。（15 分）

十．设 $\displaystyle \left\{P_{n}(x)\right\}$ 是多项式序列，且在 $R$ 上一致收敛于 $\displaystyle P(x)$ 。证明：$\displaystyle P(x)$ 也是多项式。（10 分）
$\displaystyle \_\_\_\_$
$\displaystyle \_\_\_\_$
$\displaystyle \_\_\_\_$

四．试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。（15 分）