南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, A]$ 上连续，证明：
$$
\left.\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{\infty}[f(t+h)-f(t)] d t=f(x)-f a\right) \quad(a<x<A) . \quad(15 \text { 分 })
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并修正题目中的笔误
题目中积分上限应为 $x$ 而非无穷，否则无意义。已知 $f$ 在闭区间 $[a, A]$ 上连续，因此 $f$ 在 $[a, A]$ 上一致连续且可积。要证明：
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f(t+h)-f(t)] \, dt = f(x)-f(a), \quad (a < x < A).$$
公式：$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f(t+h)-f(t)] \, dt = f(x)-f(a)$$
提示：注意题目中积分上限应为 $x$，否则极限无意义。
步骤 2/6
目标：拆分积分并进行变量代换
将原积分拆分为两项：
$$\frac{1}{h} \int_{a}^{x} f(t+h) \, dt - \frac{1}{h} \int_{a}^{x} f(t) \, dt.$$
对第一个积分作变量代换：令 $u = t+h$，则 $t = u-h$，$dt = du$，当 $t=a$ 时 $u = a+h$，当 $t=x$ 时 $u = x+h$，于是：
$$\int_{a}^{x} f(t+h) \, dt = \int_{a+h}^{x+h} f(u) \, du.$$
原式变为：
$$\frac{1}{h} \left( \int_{a+h}^{x+h} f(u) \, du - \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right).$$
公式：$$\int_{a}^{x} f(t+h) \, dt = \int_{a+h}^{x+h} f(u) \, du$$
提示：变量代换时注意积分限的变化，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：将积分区间差转化为两个小积分之差
将第一个积分拆分为三段：
$$\int_{a+h}^{x+h} f = \int_{a+h}^{a} f + \int_{a}^{x} f + \int_{x}^{x+h} f.$$
由于 $\int_{a+h}^{a} f = -\int_{a}^{a+h} f$，代入得：
$$\int_{a+h}^{x+h} f - \int_{a}^{x} f = \int_{x}^{x+h} f - \int_{a}^{a+h} f.$$
因此原极限化为：
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt - \int_{a}^{a+h} f(t) \, dt \right).$$
公式：$$\int_{a+h}^{x+h} f - \int_{a}^{x} f = \int_{x}^{x+h} f - \int_{a}^{a+h} f$$
提示：注意积分区间的方向，$\int_{a+h}^{a} f = -\int_{a}^{a+h} f$。
步骤 4/6
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $\xi_h$ 介于 $x$ 与 $x+h$ 之间，使得：
$$\int_{x}^{x+h} f(t) \, dt = h \cdot f(\xi_h).$$
存在 $\eta_h$ 介于 $a$ 与 $a+h$ 之间，使得：
$$\int_{a}^{a+h} f(t) \, dt = h \cdot f(\eta_h).$$
代入极限表达式得：
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \big( h f(\xi_h) - h f(\eta_h) \big) = \lim_{h \to 0} \big( f(\xi_h) - f(\eta_h) \big).$$
公式：$$\int_{x}^{x+h} f(t) \, dt = h f(\xi_h), \quad \int_{a}^{a+h} f(t) \, dt = h f(\eta_h)$$
提示：中值定理要求 $h$ 足够小以保证区间长度非零，且 $f$ 连续保证了中值点的存在性。
步骤 5/6
目标：利用连续性求极限
当 $h \to 0$ 时，$\xi_h \to x$，$\eta_h \to a$。由于 $f$ 在 $[a, A]$ 上连续，因此：
$$\lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x), \quad \lim_{h \to 0} f(\eta_h) = f(a).$$
故极限值为 $f(x) - f(a)$。
公式：$$\lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x), \quad \lim_{h \to 0} f(\eta_h) = f(a)$$
提示：连续性保证了中值点的极限与函数值交换顺序。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对于任意 $a < x < A$，有：
$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f(t+h)-f(t)] \, dt = f(x)-f(a).$$
证毕。
公式：$$\boxed{\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f(t+h)-f(t)] \, dt = f(x)-f(a)}$$
提示：最终结果与题目要求一致，注意 $a < x < A$ 的条件。
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