南京师范大学 2010年数学分析第0题

已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在有限开区间 $(a,b)$ 上一致连续。有限开区间意味着 $a$ 和 $b$ 是有限实数，区间长度有限。目标：证明 $f(x)g(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。

由于 $(a,b)$ 是有限开区间，且 $f,g$ 一致连续，则 $f,g$ 在 $(a,b)$ 上有界。存在常数 $M>0$，使得对任意 $x\in(a,b)$，有 $|f(x)|\le M$，$|g(x)|\le M$。

考虑 $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|$，通过加减 $f(x)g(y)$ 项进行分解： \[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-f(y)g(y)| &= |f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)| \\ &\le |f(x)||g(x)-g(y)| + |g(y)||f(x)-f(y)| \\ &\le M|g(x)-g(y)| + M|f(x)-f(y)|. \end{aligned} \]

对任意给定的 $\varepsilon>0$，由 $f$ 的一致连续性，存在 $\delta_1>0$，使得当 $|x-y|<\delta_1$ 时，$|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2M}$。同理，存在 $\delta_2>0$，使得当 $|x-y|<\delta_2$ 时，$|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2M}$。取 $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$，则当 $|x-y|<\delta$ 时， \[ |f(x)g(x)-f(y)g(y)| < M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon. \] 由定义，$f(x)g(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。

考虑无限区间 $(0,\infty)$，取 $f(x)=x$，$g(x)=\frac{1}{x}$。$f(x)=x$ 在 $(0,\infty)$ 上一致连续吗？实际上 $f(x)=x$ 在无限区间上不是一致连续的，因为当 $x,y$ 很大时，即使 $|x-y|$ 很小，差值也可以很大。但我们需要两个函数都在无限区间上一致连续。 更合适的反例：取区间 $(0,\infty)$，令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\sin x$。两者都在 $\mathbb{R}$ 上一致连续（导数有界），但乘积 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ 也是一致连续的，所以不是反例。 正确的经典反例：取区间 $(0,\infty)$，令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\sin(\sqrt{x})$。$\sin x$ 和 $\sin(\sqrt{x})$ 都在 $(0,\infty)$ 上一致连续（导数有界），但乘积 $h(x)=\sin x \sin(\sqrt{x})$ 不是一致连续的。因为当 $x$ 很大时，可以找到两点 $x_n = (2n\pi)^2$，$y_n = (2n\pi + \pi/2)^2$，使得 $|x_n-y_n|\to 0$，但 $|h(x_n)-h(y_n)|$ 不趋于 $0$。

考虑无限区间 $(0, +\infty)$，取 $f(x) = \sqrt{x}$，$g(x) = \sqrt{x}$。 首先验证 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上一致连续：函数 $\sqrt{x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，且导数 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 在 $x \to +\infty$ 时趋于 0，因此它是一致连续的（例如可用 $\delta = \varepsilon^2$ 验证）。 但乘积 $f(x)g(x) = x$ 在 $(0, +\infty)$ 上不一致连续：因为对任意 $\delta > 0$，取 $x = n$，$y = n + \frac{\delta}{2}$，则 $|x - y| = \frac{\delta}{2} < \delta$，但 $|x - y| = \frac{\delta}{2}$ 为常数，无法使 $|x - y|$ 任意小，实际上 $x$ 在无限区间上无界，不满足一致连续定义。