南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
六．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成的区域。（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简区域方程，确定积分区域形状
将曲线方程 $x^2+y^2=x+y$ 移项并配方：
$x^2 - x + y^2 - y = 0$，
分别对 $x$ 和 $y$ 配方：
$\left(x^2 - x + \frac14\right) + \left(y^2 - y + \frac14\right) = \frac12$，
即 $\left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 = \frac12$。
所以区域 $D$ 是以 $(\frac12,\frac12)$ 为圆心，半径 $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆盘。
公式：$\left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 = \frac12$
提示：配方时注意常数项要正确移到等号右边。
步骤 2/4
目标：进行坐标平移变换，简化积分区域
令 $u = x - \frac12$，$v = y - \frac12$，则区域 $D$ 变为 $D'$：$u^2 + v^2 \le \frac12$，即圆心在原点的圆盘。
同时 $x = u + \frac12$，$y = v + \frac12$，被积函数化为：
$xy = (u+\frac12)(v+\frac12) = uv + \frac12 u + \frac12 v + \frac14$。
公式：$xy = uv + \frac12 u + \frac12 v + \frac14$
提示：平移变换不改变面积元，即 $dxdy = dudv$。
步骤 3/4
目标：利用对称性简化积分
由于 $D'$ 关于 $u$ 轴和 $v$ 轴均对称，且被积函数中的 $uv$、$u$、$v$ 均为奇函数（关于原点或坐标轴），因此：
$\iint_{D'} uv \, dudv = 0$，$\iint_{D'} u \, dudv = 0$，$\iint_{D'} v \, dudv = 0$。
原积分化为：
$\iint_D xy \, dxdy = \iint_{D'} \frac14 \, dudv$。
公式：$\iint_{D'} uv \, dudv = \iint_{D'} u \, dudv = \iint_{D'} v \, dudv = 0$
提示：注意对称性成立的条件：积分区域关于坐标轴对称，且被积函数为奇函数。
步骤 4/4
目标：计算常数项积分，得到最终结果
常数 $\frac14$ 可以提到积分号外，剩余积分为区域 $D'$ 的面积。
$D'$ 是半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆，面积为 $\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$。
因此原积分值为 $\frac14 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\iint_{D'} \frac14 \, dudv = \frac14 \cdot \text{Area}(D') = \frac14 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$
提示：圆的面积公式为 $\pi R^2$，注意半径平方的计算。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
原二重积分的结果为 $\displaystyle \iint_D xy \, dx\,dy = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\boxed{\frac{\pi}{8}}$
提示：最终答案需用方框标出。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，所求二重积分的值为 $\frac{\pi}{8}$。
提示：最终结果需化简。
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