南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
三．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}-e^{-e x}}{x} d x$ ．（10 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断积分的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，利用泰勒展开：$e^{-x} = 1 - x + O(x^2)$，$e^{-e x} = 1 - e x + O(x^2)$，分子为 $(1 - x) - (1 - e x) + O(x^2) = (e-1)x + O(x^2)$，除以 $x$ 后，被积函数趋于常数 $e-1$，因此在 $0$ 附近可积。当 $x \to +\infty$ 时，指数衰减很快，积分收敛。故原积分收敛。
公式：e^{-x} = 1 - x + O(x^2), \quad e^{-e x} = 1 - e x + O(x^2)
提示：注意在 $x=0$ 处分子需展开到一阶，否则无法判断可积性。
步骤 2/4
目标：识别积分类型并引用Frullani公式
该积分具有 Frullani 型积分的形式：$\int_0^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx = \ln\frac{b}{a}$，其中 $a,b>0$。这里 $a=1$，$b=e$。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx = \ln\frac{b}{a}
提示：Frullani公式要求分子是两个指数函数的差，且分母为 $x$，注意系数 $a,b$ 必须为正数。
步骤 3/4
目标：直接应用公式计算积分值
代入 $a=1$，$b=e$，得 $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x} - e^{-e x}}{x} dx = \ln\frac{e}{1} = \ln e = 1$。
公式：\ln\frac{e}{1} = 1
提示：注意 $\ln e = 1$，不要误算为 $0$ 或其他值。
步骤 4/4
目标：用含参积分法验证结果（可选）
令 $I(t) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x} - e^{-t x}}{x} dx$，对 $t$ 求导得 $I'(t) = \int_0^{+\infty} e^{-t x} dx = \frac{1}{t}$，且 $I(1)=0$，积分得 $I(t) = \int_1^t \frac{1}{u} du = \ln t$。令 $t=e$，得 $I(e)=\ln e=1$，与直接公式结果一致。
公式：I'(t) = \int_0^{+\infty} e^{-t x} dx = \frac{1}{t}, \quad I(t) = \ln t
提示：求导时需验证积分与求导次序可交换，此处因指数函数性质成立。
步骤 5/5
目标：（可选）含参积分验证
定义 $I(\alpha)=\int_0^\infty \frac{e^{-x}-e^{-\alpha x}}{x}dx$，对$\alpha$求导：$I'(\alpha)=\int_0^\infty e^{-\alpha x}dx = \frac{1}{\alpha}$，积分得 $I(\alpha)=\ln\alpha + C$。由$I(1)=0$得$C=0$，故$I(e)=\ln e=1$。
公式：$I'(\alpha)=\frac{1}{\alpha}$，$I(\alpha)=\ln\alpha$
提示：求导时注意交换积分与求导次序的条件，这里被积函数满足一致收敛条件。
步骤 6/6
目标：得到原积分值
因此 $I(a) = -\ln a + 1$。原积分为 $I(1) = -\ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1$。
提示：注意 $\ln 1 = 0$。
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