南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
八．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$.
（2）证明：不存在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\sqrt{f(x)} \leq 0$ 。（20 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由导数非负得到函数单调性及非负性
因为 $f'(x) \geq 0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不减。又 $f(0)=0$，故对任意 $x \geq 0$，有 $f(x) \geq 0$。
公式：$f'(x) \geq 0 \Rightarrow f(x) \uparrow$
提示：注意单调不减意味着 $f(x) \geq f(0)=0$。
步骤 2/7
目标：构造微分不等式并引入积分因子
由 $f'(x) \leq f(x)$ 得 $f'(x)-f(x) \leq 0$。两边乘以正因子 $e^{-x}$，得 $e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x) \leq 0$，即 $(e^{-x}f(x))' \leq 0$。
公式：$(e^{-x}f(x))' \leq 0$
提示：积分因子法常用于处理形如 $f'(x) \leq f(x)$ 的不等式。
步骤 3/7
目标：由导数非正得到函数单调递减
令 $g(x)=e^{-x}f(x)$，则 $g'(x) \leq 0$，故 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不增。
公式：$g'(x) \leq 0 \Rightarrow g(x) \downarrow$
提示：单调不增意味着 $g(x) \leq g(0)$ 对 $x \geq 0$ 成立。
步骤 4/7
目标：利用初始条件推出恒为零
由 $f(0)=0$ 得 $g(0)=0$。由于 $g(x)$ 单调不增，有 $g(x) \leq g(0)=0$。又 $f(x) \geq 0$ 得 $g(x)=e^{-x}f(x) \geq 0$，故 $g(x)=0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，从而 $f(x) \equiv 0$。
公式：$g(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$
提示：注意非负与不大于0同时成立只能等于0。
步骤 5/7
目标：第二小题：由不等式得到导数负值及严格递减
假设存在正值连续函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)+\sqrt{f(x)} \leq 0$。由于 $f(x)>0$，$\sqrt{f(x)}>0$，故 $f'(x) \leq -\sqrt{f(x)} < 0$，因此 $f(x)$ 严格递减。
公式：$f'(x) \leq -\sqrt{f(x)} < 0$
提示：正值条件保证了根号有意义且导数严格负。
步骤 6/7
目标：分离变量并积分
将不等式改写为 $\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \leq -1$。注意到 $\frac{d}{dx}(2\sqrt{f(x)}) = \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$，故 $\frac{d}{dx}(2\sqrt{f(x)}) \leq -1$。对任意 $x>0$，从 $0$ 到 $x$ 积分得 $2\sqrt{f(x)} - 2\sqrt{f(0)} \leq -x$，即 $2\sqrt{f(x)} \leq 2\sqrt{f(0)} - x$。
公式：$2\sqrt{f(x)} \leq 2\sqrt{f(0)} - x$
提示：积分时注意 $f(0)$ 是正常数。
步骤 7/7
目标：导出矛盾
当 $x > 2\sqrt{f(0)}$ 时，右边 $2\sqrt{f(0)} - x < 0$，而左边 $2\sqrt{f(x)} \geq 0$，矛盾。故假设不成立，不存在这样的正值连续函数。
公式：$x > 2\sqrt{f(0)} \Rightarrow 2\sqrt{f(x)} < 0$ 矛盾
提示：注意 $f(x)$ 为正值函数，其平方根非负。
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