南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
四．试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设与设定
设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) < 0 < f(b)$（另一种情况 $f(a) > 0 > f(b)$ 同理可证）。假设对任意 $x \in [a,b]$，都有 $f(x) \neq 0$，即 $f$ 在 $[a,b]$ 上无零点。
公式：f(a) < 0 < f(b)
提示：注意异号条件的设定，不失一般性只考虑一种情况。
步骤 2/6
目标：构造开覆盖
对每一点 $x \in [a,b]$，由于 $f(x) \neq 0$ 且 $f$ 连续，存在 $\delta_x > 0$，使得在开区间 $I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)$ 上，$f$ 保持与 $f(x)$ 相同的符号（即恒正或恒负）。所有这样的开区间 $\{I_x \mid x \in [a,b]\}$ 构成 $[a,b]$ 的一个开覆盖。
公式：I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x), \quad \forall t \in I_x, \; f(t) \cdot f(x) > 0
提示：连续性保证局部保号性，注意开区间可能超出 $[a,b]$，但覆盖只需包含 $[a,b]$ 即可。
步骤 3/6
目标：应用有限覆盖定理
由于 $[a,b]$ 是闭区间，由有限覆盖定理，存在有限个这样的开区间 $I_{x_1}, I_{x_2}, \dots, I_{x_n}$ 仍然覆盖 $[a,b]$，即 $[a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_{x_k}$。
公式：[a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_{x_k}
提示：有限覆盖定理保证从无限开覆盖中能选出有限子覆盖，这是证明的关键。
步骤 4/6
目标：排序与符号传递
将这些开区间按左端点从小到大排序，并重新编号为 $J_1, J_2, \dots, J_m$（$m \leq n$），使得相邻区间有重叠（否则无法覆盖整个区间）。由于 $a$ 被某个区间覆盖，不妨设 $a \in J_1$，则 $J_1$ 上所有点的函数值都与 $f(a)$ 同号，即 $f(t) < 0$ 对一切 $t \in J_1$。因为 $J_1$ 与 $J_2$ 有重叠部分，重叠点处的函数值既属于 $J_1$ 又属于 $J_2$，故 $J_2$ 上的函数值也必须为负。依此类推，通过有限步传递，覆盖 $b$ 的区间 $J_m$ 上的函数值也全为负。
公式：\forall t \in J_k, \; f(t) < 0 \quad (k=1,2,\dots,m)
提示：重叠部分保证符号一致性，注意区间排序后相邻必有交，否则无法覆盖连续区间。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由上述传递，$b \in J_m$，故 $f(b) < 0$。但已知 $f(b) > 0$，矛盾。因此假设不成立。
公式：f(b) < 0 \quad \text{与} \quad f(b) > 0 \quad \text{矛盾}
提示：矛盾来源于符号传递与端点异号条件，注意反证法逻辑。
步骤 6/6
目标：结论
所以，至少存在一点 $c \in (a,b)$，使得 $f(c) = 0$。根的存在性定理得证。
公式：\exists c \in (a,b), \; f(c) = 0
提示：证明完成，注意零点可能在区间内部。
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