南京师范大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](b>a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{(b+a) f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}$ 。（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析待证等式，寻找中值定理的应用方向
要证明存在 $\xi, \eta \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{(b+a) f'(\eta)}{2\eta}$。将等式改写为 $\frac{f'(\xi)}{b+a} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}$，注意到右边分母 $2\eta$ 是 $x^2$ 的导数，左边 $b+a$ 是 $b^2-a^2$ 的因子，提示可分别使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
公式：$f'(\xi) = \frac{(b+a) f'(\eta)}{2\eta}$
提示：注意观察分母 $2\eta$ 与 $x^2$ 导数的联系，以及 $b+a$ 与平方差公式的关系。
步骤 2/5
目标：应用拉格朗日中值定理得到第一个点的导数表达式
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
公式：$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，本题条件满足。
步骤 3/5
目标：应用柯西中值定理得到第二个点的导数表达式
考虑函数 $g(x)=x^2$，在 $[a,b]$ 上对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 应用柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}$，即 $\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}$。
公式：$\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}$
提示：柯西中值定理要求两个函数在闭区间连续、开区间可导，且分母的导数不为零，这里 $g'(x)=2x$ 在 $(a,b)$ 内恒正，条件满足。
步骤 4/5
目标：利用平方差公式化简柯西中值定理的结果
因为 $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$，代入上式得 $\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)(b+a)} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}$，两边同乘 $(b+a)$ 得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{(b+a)f'(\eta)}{2\eta}$。
公式：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{(b+a)f'(\eta)}{2\eta}$
提示：注意平方差公式的正确使用，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：结合两个中值定理的结果得出结论
由第一步拉格朗日中值定理得到 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，由第四步得到 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{(b+a)f'(\eta)}{2\eta}$，因此 $f'(\xi) = \frac{(b+a)f'(\eta)}{2\eta}$，且 $\xi, \eta \in (a,b)$，命题得证。
公式：$f'(\xi) = \frac{(b+a)f'(\eta)}{2\eta}$
提示：注意两个中值定理得到的点 $\xi$ 和 $\eta$ 不一定相等，但都在 $(a,b)$ 内，满足题目要求。
步骤 6/7
目标：约去公因子得到结论
由于 $b>a$，$b-a \neq 0$，两边同时除以 $b-a$，得到 $f'(\xi) = \frac{b+a}{2\eta} f'(\eta)$。这正是要证明的等式。
公式：f'(\xi) = \frac{b+a}{2\eta} f'(\eta)
提示：约去 $b-a$ 时确保其不为零，题目条件 $b>a$ 保证了这一点。
步骤 7/7
目标：总结存在性
由拉格朗日中值定理知存在 $\xi \in (a,b)$，由柯西中值定理知存在 $\eta \in (a,b)$，因此 $\xi$ 和 $\eta$ 均在 $(a,b)$ 内，结论成立。
提示：两个中值定理保证了点的存在性，无需额外条件。
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