南京师范大学 2010年数学分析第0题

已知多项式序列 $\{P_n(x)\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $P(x)$。一致收敛的定义是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，当 $n, m \geq N$ 时，对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都有 $|P_n(x) - P_m(x)| < \varepsilon$。特别地，取定一个足够大的 $m$，则对所有 $n \geq N$ 和所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $|P_n(x) - P_m(x)| < \varepsilon$。

假设 $\{P_n(x)\}$ 的次数无上界，则存在子列 $\{P_{n_k}\}$ 使得次数 $d_{n_k}$ 严格递增。设 $P_{n_k}$ 的最高次项系数为 $a_{n_k} \neq 0$。取定一个固定的 $m$（例如 $m = n_1$），其次数为 $D$。对于充分大的 $k$，$d_{n_k} > D$，则 $P_{n_k}(x) - P_m(x)$ 是一个次数为 $d_{n_k}$ 的非零多项式（因为最高次项来自 $P_{n_k}$）。非零多项式当 $|x| \to \infty$ 时趋于无穷，因此不可能对所有 $x \in \mathbb{R}$ 满足 $|P_{n_k}(x) - P_m(x)| < \varepsilon$（取 $\varepsilon = 1$ 即得矛盾）。故所有 $P_n$ 的次数存在一个公共上界，记为 $M$。

次数不超过 $M$ 的多项式构成一个 $M+1$ 维线性空间，基可取为 $1, x, x^2, \ldots, x^M$。每个 $P_n(x)$ 可表示为 $P_n(x) = a_{n,0} + a_{n,1}x + \cdots + a_{n,M}x^M$。由于 $\{P_n\}$ 一致收敛，则它也是逐点收敛的。取 $M+1$ 个互不相同的点 $x_0, x_1, \ldots, x_M$，由 Vandermonde 矩阵可逆，系数向量 $(a_{n,0}, \ldots, a_{n,M})$ 可由 $P_n(x_i)$ 线性表示。由于 $\lim_{n\to\infty} P_n(x_i) = P(x_i)$ 存在，故每个系数 $a_{n,k}$ 收敛到某个 $a_k$。

设 $Q(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_M x^M$，其中 $a_k = \lim_{n\to\infty} a_{n,k}$。由于系数收敛，$P_n(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上逐点收敛于 $Q(x)$。又已知 $P_n(x)$ 一致收敛于 $P(x)$，由极限的唯一性，$P(x) = Q(x)$ 对每个 $x \in \mathbb{R}$ 成立。因此 $P(x)$ 是一个次数不超过 $M$ 的多项式。

由上述推理，多项式序列 $\{P_n(x)\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛的极限函数 $P(x)$ 必为多项式。证毕。

由于 $P_{N_0}(x)$ 是多项式，减去常数 $c$ 后仍然是多项式，因此 $P(x)$ 是多项式。证毕。