南京师范大学 2014年数学分析第0题

已知 $a_0=1$，$a_1=\sin 1<1$，且 $a_1>0$。假设 $00$。由数学归纳法知，数列 $\{a_n\}$ 严格单调递减且有下界 $0$，故极限存在。

设 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$，对递推式两边取极限得 $L = \sin L$。方程 $L = \sin L$ 在实数范围内的唯一解为 $L=0$，因此 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。

当 $n$ 很大时，$a_n\to 0$，将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。代入 $a_n = \sin a_{n-1}$ 得 $a_n = a_{n-1} - \frac{a_{n-1}^3}{6} + O(a_{n-1}^5)$。

由 $a_n = a_{n-1}\left(1 - \frac{a_{n-1}^2}{6} + O(a_{n-1}^4)\right)$，两边取倒数平方：$\frac{1}{a_n^2} = \frac{1}{a_{n-1}^2} \cdot \frac{1}{\left(1 - \frac{a_{n-1}^2}{6} + O(a_{n-1}^4)\right)^2}$。利用 $(1-\varepsilon)^{-2} = 1 + 2\varepsilon + O(\varepsilon^2)$，其中 $\varepsilon = \frac{a_{n-1}^2}{6} + O(a_{n-1}^4)$，得 $\frac{1}{a_n^2} = \frac{1}{a_{n-1}^2}\left(1 + \frac{a_{n-1}^2}{3} + O(a_{n-1}^4)\right)$。

由上式得 $\frac{1}{a_n^2} - \frac{1}{a_{n-1}^2} = \frac{1}{3} + O(a_{n-1}^2)$。由于 $a_{n-1}\to 0$，故 $O(a_{n-1}^2)\to 0$，因此 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a_n^2} - \frac{1}{a_{n-1}^2}\right) = \frac{1}{3}$。

考虑 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n a_n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/a_n^2}{n}$。由Stolz定理（$\frac{\infty}{\infty}$ 型），有 $\lim_{n\to\infty} \frac{1/a_n^2}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/a_n^2 - 1/a_{n-1}^2}{n - (n-1)} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{a_n^2} - \frac{1}{a_{n-1}^2}\right) = \frac{1}{3}$。