📝 南京师范大学 2014年数学分析真题

一、（15 分）设 $\displaystyle a_{0}=1, a_{n}=\sin a_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n a_{n}^{2}}$ ．

七、（15分）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期，且具有二阶连续可微的函数，$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x$ ， $\displaystyle b_{n}^{*}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin n x d x$ 。若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{\prime \prime}$ 绝对收敛，证明：$\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|b_{n}\right|} \leq \frac{1}{2}\left(2+\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}^{\prime \prime}\right|\right)$ ．

三、（15 分）若 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0$ ，能否断定函数 $f$ 在点 $a$ 的某个邻域 $\displaystyle U(a ; \delta)$ 内单递增？若是，请简要证明；若不能，请举例说明．

九、（15分）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微，证明：

$$
f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)
$$

二、（15 分）计算不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{d x}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}}, a \neq b$ 且 $n$ 为正整数．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) d x$ ．

八、（15分）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{i-\cos x y}{x^{2}} d x$ ；

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

十、（15分）求积分 $\displaystyle \iint_{S}[f(x, y, z)+x] d y d z+[f(x, y, z)+z] d x d y+[2 f(x, y, z)+y] d x d z$ ；
其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $S$ 上的连续函数，$S$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 在第 $\displaystyle I V$ 卦限部分之上侧．

四、（15 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle 0<\delta<1$ ，使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．