南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用周期性和区间划分，将积分转化为小区间上的和
注意到 $|\sin nx|$ 是以 $\pi/n$ 为周期的函数。将区间 $[0, 2\pi]$ 分成 $2n$ 个长度为 $\pi/n$ 的小区间：$I_k = \left[ \frac{k\pi}{n}, \frac{(k+1)\pi}{n} \right]$，$k=0,1,\dots,2n-1$。则原积分可写为：
$$
\int_0^{2\pi} f(x)|\sin nx| \, dx = \sum_{k=0}^{2n-1} \int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx| \, dx.
$$
公式：\int_0^{2\pi} f(x)|\sin nx| \, dx = \sum_{k=0}^{2n-1} \int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx| \, dx
提示：注意 $|\sin nx|$ 的周期是 $\pi/n$，而不是 $2\pi/n$，因为绝对值使得周期减半。
步骤 2/6
目标：对每个小区间进行变量替换，简化被积函数
对每个 $k$，令 $t = nx - k\pi$，则当 $x$ 从 $k\pi/n$ 到 $(k+1)\pi/n$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$，且 $dx = dt/n$。同时 $|\sin nx| = |\sin(t + k\pi)| = |\sin t|$。于是：
$$
\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx| \, dx = \frac{1}{n} \int_0^\pi f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) |\sin t| \, dt.
$$
公式：\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n} f(x)|\sin nx| \, dx = \frac{1}{n} \int_0^\pi f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) |\sin t| \, dt
提示：利用 $\sin(t + k\pi) = (-1)^k \sin t$，取绝对值后与 $k$ 无关。
步骤 3/6
目标：求和并交换积分次序，得到黎曼和的形式
将上述结果代入求和，并交换积分与求和次序：
$$
I_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} \int_0^\pi f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) |\sin t| \, dt = \int_0^\pi |\sin t| \left[ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) \right] dt.
$$
公式：I_n = \int_0^\pi |\sin t| \left[ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) \right] dt
提示：交换次序时注意 $|\sin t|$ 与求和无关，可以提出积分号外。
步骤 4/6
目标：利用黎曼和极限，将求和部分转化为积分
对于固定的 $t$，当 $n \to \infty$ 时，点 $x_{k,n} = \frac{k\pi + t}{n}$ 覆盖区间 $[0, 2\pi]$（忽略端点偏移），步长为 $\pi/n$。由于 $f$ 连续，黎曼和收敛：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx.
$$
这里 $1/n$ 乘以 $2n$ 项，相当于步长 $\pi/n$ 乘以 $1/\pi$，故极限为积分除以 $\pi$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\left( \frac{k\pi + t}{n} \right) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx
提示：由于 $f$ 在闭区间上连续，从而一致连续，可保证该极限对 $t$ 一致成立，从而允许极限与积分交换。
步骤 5/6
目标：将极限代入积分，并计算三角函数积分
将上述极限代入 $I_n$ 的表达式，并利用极限与积分交换（由一致收敛性保证）：
$$
\lim_{n\to\infty} I_n = \int_0^\pi |\sin t| \left( \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx \right) dt = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx \cdot \int_0^\pi |\sin t| \, dt.
$$
计算 $\int_0^\pi |\sin t| \, dt$：在 $[0, \pi]$ 上 $\sin t \ge 0$，故 $|\sin t| = \sin t$，
$$
\int_0^\pi \sin t \, dt = [-\cos t]_0^\pi = 2.
$$
公式：\int_0^\pi |\sin t| \, dt = 2
提示：注意 $|\sin t|$ 在 $[0,\pi]$ 上就是 $\sin t$，无需分段。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
代入计算得：
$$
\lim_{n\to\infty} I_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx.
$$
即原极限等式成立。
公式：\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \, dx
提示：最终结果与 $f$ 的具体形式无关，只依赖于 $|\sin nx|$ 的平均值 $2/\pi$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
代入得
\[
\lim_{n\to\infty} \int_0^{2\pi} f(x)|\sin nx|\,dx = C \cdot 4 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\,dx \cdot 4 = \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\,dx.
\]
提示：最终结果与 $f$ 的具体形式无关，只依赖于其积分值。
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