南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
八、（15分）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{i-\cos x y}{x^{2}} d x$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目并处理可能的笔误
题目中出现了复数单位 $i$，但通常此类积分常见形式为分子是 $1-\cos(xy)$。若 $i$ 为虚数单位，则积分发散，因此判断原题意图为 $1-\cos(xy)$。故求解积分 $I(y)=\int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{1-\cos(xy)}{x^2} dx$。
公式：I(y) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{1-\cos(xy)}{x^2} dx
提示：注意检查积分收敛性：当 $x\to 0$ 时，$1-\cos(xy) \sim \frac{(xy)^2}{2}$，被积函数趋于有限值；当 $x\to +\infty$ 时，指数衰减保证收敛。
步骤 2/5
目标：引入参数并求导
令 $F(a) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{1-\cos(ax)}{x^2} dx$，其中 $a=y$。在积分号下对参数 $a$ 求导（一致收敛性保证可交换）：$F'(a) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(ax)}{x} dx$。
公式：F'(a) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(ax)}{x} dx
提示：求导时注意 $\frac{\partial}{\partial a} \cos(ax) = -x \sin(ax)$，与分母 $x^2$ 约去一个 $x$。
步骤 3/5
目标：计算经典积分 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(ax)}{x} dx$
利用已知公式 $\int_0^{+\infty} e^{-px} \frac{\sin(qx)}{x} dx = \arctan\left(\frac{q}{p}\right)$，其中 $p>0$。代入 $p=1$，$q=a$，得 $F'(a) = \arctan(a)$。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \arctan(a)
提示：此公式可通过拉普拉斯变换或对参数积分推导：先求 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \sin(ax) dx = \frac{a}{1+a^2}$，再对 $a$ 积分。
步骤 4/5
目标：积分求原函数 $F(a)$
由 $F'(a) = \arctan(a)$，积分得 $F(a) = \int \arctan(a) da = a \arctan(a) - \frac{1}{2} \ln(1+a^2) + C$。利用初始条件 $F(0)=0$ 确定常数 $C=0$。
公式：F(a) = a \arctan(a) - \frac{1}{2} \ln(1+a^2)
提示：计算 $\int \arctan(a) da$ 时使用分部积分：令 $u=\arctan(a)$，$dv=da$。
步骤 5/5
目标：得到最终结果
将 $a=y$ 代入，得原积分结果为 $I(y) = y \arctan(y) - \frac{1}{2} \ln(1+y^2)$。
公式：\boxed{y \arctan y - \dfrac{1}{2} \ln(1+y^2)}
提示：若题目中 $i$ 确为虚数单位，则积分发散，因为 $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{x^2} dx$ 在 $x=0$ 处不收敛。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，修正后的积分结果为 $F(y) = y \arctan y - \dfrac{1}{2} \ln(1+y^{2})$。原题若为 $i-\cos(xy)$ 则积分发散，无有限值。
公式：$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{1-\cos(xy)}{x^{2}} \, dx = y \arctan y - \frac{1}{2} \ln(1+y^{2})$
提示：最终结果应包含常数项验证，确保 $F(0)=0$。
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