南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设结论不成立，构造反例点列
假设 $\lim_{x\to+\infty} f(x) \neq 0$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和点列 $\{x_n\} \subset [a,+\infty)$ 满足 $x_n \to +\infty$，使得 $|f(x_n)| \ge \varepsilon_0$。
公式：$|f(x_n)| \ge \varepsilon_0 > 0$
提示：注意反证法假设的是极限不为0，即存在正的下界无穷多次出现。
步骤 2/4
目标：利用一致连续性得到局部下界
由 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，对 $\varepsilon_0/2 > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon_0/2$。于是对每个 $x_n$，当 $x \in [x_n, x_n+\delta]$ 时，有 $|f(x)| \ge |f(x_n)| - |f(x)-f(x_n)| \ge \varepsilon_0 - \varepsilon_0/2 = \varepsilon_0/2$。
公式：$|f(x)| \ge \frac{\varepsilon_0}{2}, \quad x \in [x_n, x_n+\delta]$
提示：一致连续性保证了下界在固定长度的区间上成立。
步骤 3/4
目标：导出积分发散矛盾
考虑区间 $[x_n, x_n+\delta]$，有 $\int_{x_n}^{x_n+\delta} |f(x)|\,dx \ge \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot \delta > 0$。取子列使得这些区间互不重叠（例如取 $x_{n+1} \ge x_n+\delta$），则积分 $\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛意味着对任意 $\epsilon>0$，存在 $M$，当 $A,B>M$ 时 $\left|\int_A^B f(x)\,dx\right|<\epsilon$。但取 $A=x_n, B=x_n+\delta$ 且 $n$ 充分大，积分绝对值恒大于 $\frac{\varepsilon_0 \delta}{2}$，矛盾。
公式：$\left|\int_{x_n}^{x_n+\delta} f(x)\,dx\right| \ge \frac{\varepsilon_0 \delta}{2} > 0$
提示：注意柯西收敛准则要求任意区间长度上的积分可以任意小，这里构造了固定下界的区间。
步骤 4/4
目标：得出结论
反证假设不成立，故 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$
提示：结论直接由矛盾得到。
步骤 5/7
目标：估计区间上的积分值
在区间 $[x_0, x_0 + \delta]$ 上，由于 $f(t) \geq \varepsilon_0 / 2$，积分下界为：$\int_{x_0}^{x_0 + \delta} f(t) \, dt \geq \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot \delta > 0$。
公式：$\int_{x_0}^{x_0 + \delta} f(t) \, dt \geq \frac{\varepsilon_0}{2} \delta$
提示：这个积分值是固定的正数，与 $x_0$ 的选取无关。
步骤 6/7
目标：导出矛盾
由假设，我们可以取到任意大的 $x_0$ 满足 $|f(x_0)| \geq \varepsilon_0$，从而对任意大的 $M$，总存在 $A = x_0 > M$ 和 $B = x_0 + \delta$，使得 $\left| \int_A^B f(x) \, dx \right| \geq \frac{\varepsilon_0}{2} \delta$。这与积分收敛的柯西准则矛盾（因为柯西准则要求当 $A, B$ 充分大时，积分绝对值可以任意小）。
公式：矛盾：$\exists \varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2} \delta > 0$，对任意 $M$，存在 $A, B > M$ 使 $\left| \int_A^B f(x) \, dx \right| \geq \varepsilon$
提示：注意柯西准则中的 $\varepsilon$ 是任意小的正数，而这里我们找到了一个固定的正数下界，因此矛盾。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此假设不成立，故必有 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：结论成立的关键是一致连续性保证了函数值在局部不会剧烈波动，从而积分能控制函数值趋于0。
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