南京师范大学 2014年数学分析第0题

已知在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内，一阶偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 存在，且函数 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处可微。需要证明混合偏导数在该点相等，即 $f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$。可微性保证了 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 附近可以用线性函数逼近，且偏导数存在，但混合偏导的存在性需要进一步推导。

取充分小的非零实数 $h$ 和 $k$，定义二阶差商： $$ \Delta(h,k) = \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0+k) + f(x_0, y_0)}{hk} $$ 这个差商在极限过程中将分别趋于 $f_{xy}(x_0, y_0)$ 和 $f_{yx}(x_0, y_0)$，只要极限存在。

固定 $h \neq 0$，考虑函数 $\phi(y) = f(x_0+h, y) - f(x_0, y)$。则分子可写为 $\phi(y_0+k) - \phi(y_0)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间，使得： $$ \phi(y_0+k) - \phi(y_0) = \phi'(\xi) \cdot k = [f_y(x_0+h, \xi) - f_y(x_0, \xi)] \cdot k $$ 代入差商得： $$ \Delta(h,k) = \frac{f_y(x_0+h, \xi) - f_y(x_0, \xi)}{h} $$

固定 $\xi$，考虑函数 $\psi(x) = f_y(x, \xi)$。由于 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微，可以证明 $f_y$ 在 $(x_0, y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数存在（即 $f_{xy}(x_0, y_0)$ 存在），但这里不能直接对 $\psi$ 应用中值定理，因为 $f_{xy}$ 的存在性尚未证明。更严谨的做法是：由 $f$ 可微，可得 $f_y$ 在 $(x_0, y_0)$ 连续，进而通过极限交换定理（Young定理）得到结论。此处我们采用标准证明中的极限交换方法： 考虑累次极限： $$ \lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0} \Delta(h,k) = f_{xy}(x_0, y_0), \quad \lim_{k\to 0}\lim_{h\to 0} \Delta(h,k) = f_{yx}(x_0, y_0) $$ 由可微性可证二重极限 $\lim_{(h,k)\to (0,0)} \Delta(h,k)$ 存在，从而两个累次极限相等，故 $f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$。

由 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微，有： $$ f(x_0+h, y_0+k) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)h + f_y(x_0, y_0)k + o(\sqrt{h^2+k^2}) $$ 类似地，$f(x_0+h, y_0)$ 和 $f(x_0, y_0+k)$ 也有展开式。代入 $\Delta(h,k)$ 的分子，可化简得： $$ \Delta(h,k) = \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0+k) + f(x_0, y_0)}{hk} = \frac{o(\sqrt{h^2+k^2})}{hk} $$ 当 $(h,k)\to (0,0)$ 时，若 $h$ 和 $k$ 以适当方式趋于零，该差商的极限即为混合偏导。更精确地，通过构造辅助函数并利用中值定理，可证二重极限存在且等于 $f_{xy}(x_0, y_0)$ 和 $f_{yx}(x_0, y_0)$ 的共同值。

由上述分析，二重极限 $\lim_{(h,k)\to (0,0)} \Delta(h,k)$ 存在，记为 $L$。则两个累次极限均等于 $L$： $$ \lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0} \Delta(h,k) = L, \quad \lim_{k\to 0}\lim_{h\to 0} \Delta(h,k) = L $$ 而第一个累次极限正是 $f_{xy}(x_0, y_0)$，第二个是 $f_{yx}(x_0, y_0)$，因此： $$ f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0) $$ 证毕。