南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）计算不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{d x}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}}, a \neq b$ 且 $n$ 为正整数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将根式化为指数形式，简化被积函数
将根号下的表达式写成指数形式：
\[
\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}} = (x-a)^{\frac{n+1}{n}} (x-b)^{\frac{n-1}{n}}
\]
因此原积分变为：
\[
I = \int (x-a)^{-\frac{n+1}{n}} (x-b)^{-\frac{n-1}{n}} \, dx
\]
公式：\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}} = (x-a)^{\frac{n+1}{n}} (x-b)^{\frac{n-1}{n}}
提示：注意指数运算的准确性，特别是负指数的处理。
步骤 2/7
目标：引入变量替换，将两个线性项的比例设为新变量
令 \( t = \frac{x-a}{x-b} \)，反解出 \( x \)：
\[
t(x-b) = x-a \implies (t-1)x = tb - a \implies x = \frac{tb - a}{t-1}
\]
计算微分：
\[
dx = \frac{(t-1)b - (tb - a)}{(t-1)^2} dt = \frac{a-b}{(t-1)^2} dt
\]
公式：t = \frac{x-a}{x-b}, \quad dx = \frac{a-b}{(t-1)^2} dt
提示：注意微分计算中分子化简的细节，避免符号错误。
步骤 3/7
目标：用新变量表示 x-a 和 x-b
将 \( x-a \) 和 \( x-b \) 用 \( t \) 表示：
\[
x-a = \frac{tb - a}{t-1} - a = \frac{t(b-a)}{t-1}
\]
\[
x-b = \frac{tb - a}{t-1} - b = \frac{b-a}{t-1}
\]
公式：x-a = \frac{t(b-a)}{t-1}, \quad x-b = \frac{b-a}{t-1}
提示：化简时注意通分，确保分子分母正确。
步骤 4/7
目标：代入被积函数并化简
代入 \( (x-a)^{-\frac{n+1}{n}} \) 和 \( (x-b)^{-\frac{n-1}{n}} \)：
\[
(x-a)^{-\frac{n+1}{n}} = \left( \frac{t(b-a)}{t-1} \right)^{-\frac{n+1}{n}} = \left( \frac{t-1}{t(b-a)} \right)^{\frac{n+1}{n}}
\]
\[
(x-b)^{-\frac{n-1}{n}} = \left( \frac{b-a}{t-1} \right)^{-\frac{n-1}{n}} = \left( \frac{t-1}{b-a} \right)^{\frac{n-1}{n}}
\]
两者相乘并合并指数：
\[
(x-a)^{-\frac{n+1}{n}}(x-b)^{-\frac{n-1}{n}} = \frac{(t-1)^2}{(b-a)^2} \cdot t^{-\frac{n+1}{n}}
\]
公式：(x-a)^{-\frac{n+1}{n}}(x-b)^{-\frac{n-1}{n}} = \frac{(t-1)^2}{(b-a)^2} t^{-\frac{n+1}{n}}
提示：合并指数时注意 \( \frac{n+1}{n} + \frac{n-1}{n} = 2 \)，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：代入 dx 并进一步化简积分
将 \( dx = \frac{a-b}{(t-1)^2} dt = -\frac{b-a}{(t-1)^2} dt \) 代入，与被积函数相乘：
\[
\frac{(t-1)^2}{(b-a)^2} t^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \left( -\frac{b-a}{(t-1)^2} \right) dt = -\frac{1}{b-a} t^{-\frac{n+1}{n}} dt
\]
因此积分简化为：
\[
I = -\frac{1}{b-a} \int t^{-\frac{n+1}{n}} \, dt
\]
公式：I = -\frac{1}{b-a} \int t^{-\frac{n+1}{n}} \, dt
提示：注意 \( a-b = -(b-a) \)，符号处理要小心。
步骤 6/7
目标：计算关于 t 的积分
指数 \( -\frac{n+1}{n} = -1 - \frac{1}{n} \)，积分得：
\[
\int t^{-1-\frac{1}{n}} \, dt = \frac{t^{-\frac{1}{n}}}{-\frac{1}{n}} = -n \, t^{-\frac{1}{n}}
\]
代入原式：
\[
I = -\frac{1}{b-a} \cdot (-n \, t^{-\frac{1}{n}}) + C = \frac{n}{b-a} \, t^{-\frac{1}{n}} + C
\]
公式：\int t^{-1-\frac{1}{n}} \, dt = -n \, t^{-\frac{1}{n}}
提示：积分公式 \( \int t^{\alpha} dt = \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} \) 在 \( \alpha \neq -1 \) 时成立，此处 \( \alpha = -1-\frac{1}{n} \neq -1 \)。
步骤 7/7
目标：回代变量并写出最终结果
将 \( t = \frac{x-a}{x-b} \) 代回：
\[
I = \frac{n}{b-a} \left( \frac{x-a}{x-b} \right)^{-\frac{1}{n}} + C = \frac{n}{b-a} \left( \frac{x-b}{x-a} \right)^{\frac{1}{n}} + C
\]
即：
\[
I = \frac{n}{b-a} \sqrt[n]{\frac{x-b}{x-a}} + C
\]
公式：I = \frac{n}{b-a} \sqrt[n]{\frac{x-b}{x-a}} + C
提示：回代时注意负指数的处理，最终结果应化简为根式形式。
步骤 8/8
目标：回代变量 $t$ 得到最终结果
由 $t = \frac{x-a}{x-b}$，得 $t^{-\frac{1}{n}} = \left(\frac{x-a}{x-b}\right)^{-\frac{1}{n}} = \left(\frac{x-b}{x-a}\right)^{\frac{1}{n}}$，代入得：
$$I = \frac{n}{b-a} \left(\frac{x-b}{x-a}\right)^{\frac{1}{n}} + C$$
公式：$$I = \frac{n}{b-a} \left(\frac{x-b}{x-a}\right)^{\frac{1}{n}} + C$$
提示：回代时注意指数的负号处理，最终结果应化简为最简形式。
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