南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）若 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0$ ，能否断定函数 $f$ 在点 $a$ 的某个邻域 $\displaystyle U(a ; \delta)$ 内单递增？若是，请简要证明；若不能，请举例说明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件，利用导数定义和极限保号性
已知 $f'(a) > 0$，由导数定义：
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} > 0$$
根据极限的保号性，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，有
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > 0$$
这意味着：若 $x > a$，则 $f(x) > f(a)$；若 $x < a$，则 $f(x) < f(a)$。
公式：f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} > 0
提示：注意：极限保号性只能保证在a点附近函数值与a点比较的大小关系，不能推出任意两点间的大小关系。
步骤 2/5
目标：思考能否推出整体单调递增
要证明在某个邻域内单调递增，需要对于该邻域内任意两点 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) \le f(x_2)$。仅由 $f'(a) > 0$ 无法保证这一点，因为导数可能在 $a$ 点附近的其他点变号或振荡。
提示：局部导数大于0不能保证整体单调性，需考虑导数的连续性或更严格的条件。
步骤 3/5
目标：构造反例函数
考虑函数：
$$f(x) = \begin{cases} x + 2x^2 \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$
取 $a=0$，计算 $f'(0)$：
$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x + 2x^2\sin\frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + 2x\sin\frac{1}{x}\right) = 1 > 0$$
满足条件。
公式：f'(0) = \lim_{x \to 0} \left(1 + 2x\sin\frac{1}{x}\right) = 1
提示：构造反例时，常用振荡项如 $\sin(1/x)$ 来破坏单调性。
步骤 4/5
目标：验证反例在0的任何邻域内不是单调递增
当 $x \neq 0$ 时，求导得：
$$f'(x) = 1 + 4x\sin\frac{1}{x} - 2\cos\frac{1}{x}$$
取序列 $x_n = \frac{1}{2n\pi}$，则 $\cos(2n\pi) = 1$，$\sin(2n\pi) = 0$，代入得：
$$f'(x_n) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0$$
因此在 $0$ 的任何邻域内，都存在导数小于0的点，从而函数不是单调递增的。
公式：f'(x) = 1 + 4x\sin\frac{1}{x} - 2\cos\frac{1}{x}
提示：注意：$f'(x)$ 在 $x=0$ 附近振荡，导致局部下降，破坏了单调性。
步骤 5/5
目标：得出结论
不能断定。反例：$f(x) = \begin{cases} x + 2x^2\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ 在 $a=0$ 处导数为 $1>0$，但在 $0$ 的任何邻域内都不是单调递增的。
提示：该反例说明导数大于0是局部性质，不能保证邻域内的整体单调性。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，仅由 $f'(a) > 0$ 不能断定函数 $f$ 在点 $a$ 的某个邻域内单调递增。反例即为上述函数。
提示：注意：导数大于零只能保证局部升降趋势，但无法排除邻域内振荡导致的非单调性。
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