南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle 0<\delta<1$ ，使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明目标
已知函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有二阶导数，且 $f(0)=f'(0)=0$，并且满足不等式 $|f''(x)| \leq |f(x)| + |f'(x)|$。需要证明存在 $0<\delta<1$，使得在 $(-\delta, \delta)$ 内 $f(x) \equiv 0$。
公式：$f(0)=f'(0)=0$, $|f''(x)| \leq |f(x)| + |f'(x)|$
提示：注意初始条件为零，这是局部恒为零的关键起点。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数以简化分析
为了同时控制 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 的大小，构造非负函数 $F(x) = [f(x)]^2 + [f'(x)]^2$。易知 $F(0)=0$，且 $F(x) \geq 0$。
公式：$F(x) = f(x)^2 + f'(x)^2$
提示：使用平方和可以避免绝对值带来的不可导问题，便于求导。
步骤 3/6
目标：对辅助函数求导并利用已知不等式
对 $F(x)$ 求导得：$F'(x) = 2f(x)f'(x) + 2f'(x)f''(x) = 2f'(x)[f(x) + f''(x)]$。由已知不等式 $|f''(x)| \leq |f(x)| + |f'(x)|$，可得 $|f(x) + f''(x)| \leq |f(x)| + |f''(x)| \leq |f(x)| + (|f(x)| + |f'(x)|) = 2|f(x)| + |f'(x)|$。因此 $|F'(x)| = 2|f'(x)| \cdot |f(x) + f''(x)| \leq 2|f'(x)|(2|f(x)| + |f'(x)|)$。
公式：$F'(x) = 2f'(x)[f(x) + f''(x)]$, $|F'(x)| \leq 2|f'(x)|(2|f(x)| + |f'(x)|)$
提示：注意绝对值不等式的放缩方向，不要丢失系数。
步骤 4/6
目标：用 $F(x)$ 控制导数不等式
由于 $|f(x)| \leq \sqrt{F(x)}$, $|f'(x)| \leq \sqrt{F(x)}$，代入上一步的不等式得：$|F'(x)| \leq 2\sqrt{F(x)} (2\sqrt{F(x)} + \sqrt{F(x)}) = 2\sqrt{F(x)} \cdot 3\sqrt{F(x)} = 6F(x)$。因此得到微分不等式 $|F'(x)| \leq 6F(x)$，即 $-6F(x) \leq F'(x) \leq 6F(x)$。
公式：$|F'(x)| \leq 6F(x)$
提示：这一步的关键是将 $|f|$ 和 $|f'|$ 用 $\sqrt{F}$ 上界估计，注意平方根的非负性。
步骤 5/6
目标：利用微分不等式证明 $F(x)$ 恒为零
考虑区间 $[0, \delta)$，由 $F'(x) \leq 6F(x)$ 且 $F(0)=0$，根据Gronwall不等式或常微分方程比较原理，可得 $F(x) \leq F(0)e^{6x} = 0$，又因为 $F(x) \geq 0$，所以 $F(x) \equiv 0$。同理可证 $x \leq 0$ 的情形。因此存在 $\delta>0$（例如取 $\delta=1/2$），使得在 $(-\delta, \delta)$ 上 $F(x)=0$，从而 $f(x)=0$ 且 $f'(x)=0$。
公式：$F(x) \leq F(0)e^{6|x|} = 0$
提示：严格证明需用Gronwall引理：若 $u'(t) \leq \beta(t)u(t)$，则 $u(t) \leq u(0)\exp(\int_0^t \beta(s)ds)$。这里 $\beta(t)=6$。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $F(x) \equiv 0$ 可知 $f(x)^2 + f'(x)^2 = 0$，因此 $f(x)=0$ 且 $f'(x)=0$ 在 $(-\delta, \delta)$ 内成立。故存在 $0<\delta<1$，使得在 $(-\delta, \delta)$ 内 $f(x) \equiv 0$。
公式：$f(x) \equiv 0$ 在 $(-\delta, \delta)$ 内
提示：注意 $\delta$ 可以取任意小于1的正数，只要保证邻域包含在定义域内即可。
步骤 7/7
目标：结论：存在δ使得f在(-δ,δ)内恒为零
取$\delta=\frac12$，则$0<\delta<1$，且在$(-\delta,\delta)$内$f(x)\equiv 0$。命题得证。
提示：实际上，只要$\delta$满足$\delta+\frac{\delta^2}{2}<1$，类似推理即可，例如$\delta=\frac12$。
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