南京师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
七、（15分）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期，且具有二阶连续可微的函数，$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x$ ， $\displaystyle b_{n}^{*}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin n x d x$ 。若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{\prime \prime}$ 绝对收敛，证明：$\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|b_{n}\right|} \leq \frac{1}{2}\left(2+\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}^{\prime \prime}\right|\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与记号
函数 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且二阶连续可微，因此其傅里叶级数可逐项求导。定义正弦傅里叶系数：$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$，以及 $b_n'' = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f''(x) \sin(nx) \, dx$。已知级数 $\sum_{n=1}^\infty |b_n''|$ 绝对收敛。要证明：$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|b_n|} \le \frac12 \left( 2 + \sum_{n=1}^\infty |b_n''| \right)$。
公式：b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx, \quad b_n'' = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f''(x) \sin(nx) \, dx
提示：注意 $b_n''$ 不是 $b_n$ 的二阶导数，而是 $f''$ 的傅里叶系数。
步骤 2/6
目标：建立 $b_n$ 与 $b_n''$ 的关系
对 $b_n$ 进行两次分部积分。第一次分部积分：令 $u = f(x)$, $dv = \sin(nx) dx$，得 $du = f'(x) dx$, $v = -\frac{\cos(nx)}{n}$。由于 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，边界项为零，得到 $b_n = \frac{1}{n\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \cos(nx) \, dx$。第二次分部积分：令 $u = f'(x)$, $dv = \cos(nx) dx$，得 $du = f''(x) dx$, $v = \frac{\sin(nx)}{n}$。由于 $\sin(n\pi)=0$，边界项为零，得到 $b_n = -\frac{1}{n^2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f''(x) \sin(nx) \, dx = -\frac{b_n''}{n^2}$。因此 $|b_n| = \frac{|b_n''|}{n^2}$。
公式：b_n = -\frac{b_n''}{n^2}, \quad |b_n| = \frac{|b_n''|}{n^2}
提示：分部积分时注意周期性条件使边界项消去，这是关键。
步骤 3/6
目标：将待证不等式转化为关于 $b_n''$ 的形式
将 $|b_n| = |b_n''|/n^2$ 代入原不等式左边：$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|b_n|} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{|b_n''|}}{n}$。因此原不等式等价于证明：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{|b_n''|}}{n} \le \frac12 \left( 2 + \sum_{n=1}^\infty |b_n''| \right)$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|b_n|} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{|b_n''|}}{n}
提示：转换后目标更清晰，只需处理 $\frac{\sqrt{|b_n''|}}{n}$ 的求和。
步骤 4/6
目标：使用基本不等式放缩每一项
对每个正整数 $n$，由 AM-GM 不等式（或 $2\sqrt{ab} \le a+b$），取 $a = \frac{1}{n^2}$，$b = |b_n''|$，得：$\frac{\sqrt{|b_n''|}}{n} = \sqrt{\frac{1}{n^2} \cdot |b_n''|} \le \frac12 \left( \frac{1}{n^2} + |b_n''| \right)$。
公式：\frac{\sqrt{|b_n''|}}{n} \le \frac12 \left( \frac{1}{n^2} + |b_n''| \right)
提示：AM-GM 不等式是处理根号与乘积的常用技巧，注意 $a$ 和 $b$ 的选取。
步骤 5/6
目标：对不等式求和并利用已知级数收敛性
对 $n$ 从 1 到 $\infty$ 求和：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{|b_n''|}}{n} \le \frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} + \frac12 \sum_{n=1}^\infty |b_n''|$。已知 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449 < 2$，因此 $\frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < 1$。代入得：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{|b_n''|}}{n} \le 1 + \frac12 \sum_{n=1}^\infty |b_n''| = \frac12 \left( 2 + \sum_{n=1}^\infty |b_n''| \right)$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < 2
提示：常数 2 来自 $\sum 1/n^2$ 的粗略上界，实际值更小，因此不等式严格成立。
步骤 6/6
目标：得出结论
由上述推导，原不等式 $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|b_n|} \le \frac12 \left( 2 + \sum_{n=1}^\infty |b_n''| \right)$ 得证。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|b_{n}\right|} \leq \frac{1}{2}\left(2+\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}^{\prime \prime}\right|\right)
提示：证明中利用了周期性、分部积分和基本不等式，注意每一步的严谨性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。