南京师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
一、（15 分）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{1^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}(\mathrm{n}=1,2, \cdots)$ ，证明：
（1）当 $\displaystyle \alpha=1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散；
（2）当 $\displaystyle \alpha=2$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；
（3）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明当 α=1 时数列 {a_n} 发散
当 α=1 时，$a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$，即调和级数的部分和。将项分组：$1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}) + \cdots$，每组项数依次为 1,1,2,4,8,…，每组和至少为 $\frac{1}{2}$（除第一组为1），因此部分和可无限增大，数列发散。
公式：$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，分组后每组和 $\geq \frac{1}{2}$
提示：注意分组法的技巧，每组下界取 $\frac{1}{2}$ 是关键，避免直接求和困难。
步骤 2/7
目标：证明当 α=2 时数列 {a_n} 单调递增
显然 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{(n+1)^2} > a_n$，故数列单调递增。
公式：$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$
提示：单调性直接由正项相加得到，无需复杂推导。
步骤 3/7
目标：证明当 α=2 时数列 {a_n} 有上界
对 $k \geq 2$，有 $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$。于是 $a_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^n (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n} < 2$。因此数列有上界2。
公式：$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$，裂项相消得 $\sum_{k=2}^n (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac{1}{n}$
提示：放缩时注意分母从 $k^2$ 到 $k(k-1)$ 的合理性，裂项后注意首尾项。
步骤 4/7
目标：由单调有界定理得出 α=2 时数列收敛
数列 {a_n} 单调递增且有上界2，由单调有界定理知数列收敛。
公式：单调有界定理
提示：单调递增有上界是收敛的充分条件，无需具体极限值。
步骤 5/7
目标：证明当 α>1 时数列 {a_n} 单调递增
显然 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{(n+1)^\alpha} > a_n$，故数列单调递增。
公式：$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)^\alpha} > 0$
提示：与 α=2 时相同，正项级数部分和自然单调递增。
步骤 6/7
目标：证明当 α>1 时数列 {a_n} 有上界
对 $k \geq 2$，由 $x^{-\alpha}$ 在 $[k-1,k]$ 上递减，得 $\frac{1}{k^\alpha} \leq \int_{k-1}^{k} \frac{dx}{x^\alpha}$。于是 $a_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^\alpha} \leq 1 + \sum_{k=2}^n \int_{k-1}^{k} \frac{dx}{x^\alpha} = 1 + \int_{1}^{n} \frac{dx}{x^\alpha}$。计算积分：$\int_{1}^{n} x^{-\alpha} dx = \frac{n^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}$。由于 $\alpha>1$，$n^{1-\alpha} \to 0$，故 $\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} dx = \frac{1}{\alpha-1}$，从而 $a_n < 1 + \frac{1}{\alpha-1}$，数列有上界。
公式：$\frac{1}{k^\alpha} \leq \int_{k-1}^{k} \frac{dx}{x^\alpha}$，$\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} dx = \frac{1}{\alpha-1}$
提示：积分比较法的关键是函数单调性，注意积分区间对应关系，避免方向错误。
步骤 7/7
目标：由单调有界定理得出 α>1 时数列收敛
数列 {a_n} 单调递增且有上界 $1+\frac{1}{\alpha-1}$，由单调有界定理知数列收敛。
公式：单调有界定理
提示：上界依赖于 α，但 α>1 时始终有限，确保收敛性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。