📝 南京师范大学 2015年数学分析真题
第0题
一、（15 分）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{1^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}(\mathrm{n}=1,2, \cdots)$ ，证明：
（1）当 $\displaystyle \alpha=1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散；
（2）当 $\displaystyle \alpha=2$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；
（3）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）当 $\displaystyle \alpha=1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散；
（2）当 $\displaystyle \alpha=2$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；
（3）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
第0题
七、（12 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x \in[-a, a], x \neq 0$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq|x|$ ．
$$
\text { 又 } f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \cdots, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), \cdots
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛于 0 ．
$$
\text { 又 } f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \cdots, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), \cdots
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛于 0 ．
第0题
三、（15分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，
（1）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f((1-\cos x) \ln (1+x))}{\left(e^{x}-1\right) \sin x^{2}}$ ，
（2）若 $\displaystyle f(0)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}\right)^{n}$ ．
（1）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f((1-\cos x) \ln (1+x))}{\left(e^{x}-1\right) \sin x^{2}}$ ，
（2）若 $\displaystyle f(0)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}\right)^{n}$ ．
第0题
九、（12 分）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值，其中 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 r^{2}$
$\displaystyle (x, y, z$ 均 $\displaystyle >0, r>0)$ ，并利用所得结果证明不等式
$$
a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5} \cdot(a, b, c \text { 均 }>0)
$$
$\displaystyle (x, y, z$ 均 $\displaystyle >0, r>0)$ ，并利用所得结果证明不等式
$$
a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5} \cdot(a, b, c \text { 均 }>0)
$$
第0题
二、（15分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 为 $k$ 个正数．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{n}}+a_{2}^{\frac{1}{n}}+\cdots+a_{k}^{\frac{1}{n}}}{k}\right)^{n}$ ．
（2）令 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{k}^{x}}{k}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)$ 。
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{n}}+a_{2}^{\frac{1}{n}}+\cdots+a_{k}^{\frac{1}{n}}}{k}\right)^{n}$ ．
（2）令 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{k}^{x}}{k}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)$ 。
第0题
五、（15 分）计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{d x}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
第0题
八、（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性，可微性，偏导数的存在性以及偏导数的连续性．
第0题
六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内周期为 $\displaystyle T(>0)$ 的连续函数，证明：
（1）任给 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty), \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x$ ；
（2）$\displaystyle \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t$ ．
（1）任给 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty), \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x$ ；
（2）$\displaystyle \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t$ ．
第0题
十、（12 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{\sqrt{3+\cos x}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} B\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ ．
第0题
十一、（12 分）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x-1}{r^{3}} d y d z+\frac{y-2}{r^{3}} d z d x+\frac{z-3}{r^{3}} d x d y$ 。其中 $S$ 为长方体
$\displaystyle V=\{(x, y, z) \mid x \in[-2,2], y \in[-3,3], z \in[-4,4]\}$ 的表面的外侧，
$\displaystyle r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}}$ ．
$\displaystyle V=\{(x, y, z) \mid x \in[-2,2], y \in[-3,3], z \in[-4,4]\}$ 的表面的外侧，
$\displaystyle r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}}$ ．
第0题
四、（15 分）（1）证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续；
（2） $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内一致连续；
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内一致连续．
（2） $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内一致连续；
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内一致连续．