南京师范大学 2015年数学分析第0题

考虑极限 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-e^{x(x^2+y^2)}}{x^2+y^2}\)。当 \((x,y)\to(0,0)\) 时，\(x(x^2+y^2)\to 0\)，利用等价无穷小 \(1-e^t \sim -t\)，得 \(1-e^{x(x^2+y^2)} \sim -x(x^2+y^2)\)，因此原式 \(\sim \frac{-x(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = -x\)，极限为 \(0\)。而 \(f(0,0)=0\)，故函数在原点连续。

由定义：\(f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1-e^{h^3}}{h^3}\)，用等价无穷小 \(1-e^{h^3}\sim -h^3\)，得极限为 \(-1\)，故 \(f_x(0,0)=-1\)。\(f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}\)，当 \(x=0\) 时 \(f(0,k)=0\)，极限为 \(0\)，故 \(f_y(0,0)=0\)。

检查极限 \(\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}\)。代入得分子为 \(\frac{1-e^{h(h^2+k^2)}}{h^2+k^2}+h\)。令 \(t=h(h^2+k^2)\)，展开 \(1-e^t = -t - \frac{t^2}{2}+o(t^2)\)，则分子化为 \(-\frac{h^2(h^2+k^2)}{2}+o(h^2+k^2)\)，除以 \(\sqrt{h^2+k^2}\) 得 \(-\frac{h^2\sqrt{h^2+k^2}}{2}+o(\sqrt{h^2+k^2})\to 0\)，故函数在原点可微。

先求非零点偏导表达式：\(f_x = \frac{-e^{x r^2}(r^2+2x^2)r^2 - (1-e^{x r^2})2x}{r^4}\)，其中 \(r^2=x^2+y^2\)。沿路径 \(x=0\)（\(y\neq 0\)），\(f(0,y)=0\)，故 \(f_x(0,y)=0\)，而 \(f_x(0,0)=-1\)，因此 \(f_x\) 在原点不连续。对于 \(f_y\)，表达式为 \(f_y = \frac{-2y e^{x r^2} x r^2 - 2y(1-e^{x r^2})}{r^4}\)，沿 \(y=0\) 得 \(f_y(x,0)=0\)，沿 \(x=0\) 得 \(f_y(0,y)=0\)，但沿 \(y=x\) 路径趋于0时，分子主项为 \(-4x^4 e^{2x^3} - 2x + 2x e^{2x^3}\)，展开得 \(-4x^4 - 2x + 2x(1+2x^3+\cdots) = -4x^4 + 4x^4 + \cdots = o(x^4)\)，除以 \(r^4=4x^4\) 得极限为0，故 \(f_y\) 在原点连续（但需注意 \(f_y\) 的连续性依赖于方向，此处极限均为0，故连续）。