南京师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{d x}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：进行三角代换，简化被积函数
令 $x = \sec t$，其中 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$，则 $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t$（取正值），且 $dx = \sec t \tan t \, dt$。
公式：x = \sec t, \quad dx = \sec t \tan t \, dt, \quad \sqrt{x^2-1} = \tan t
提示：注意三角代换后根号开方需考虑符号，这里选择区间使 $\tan t > 0$。
步骤 2/5
目标：代入积分并化简
将代换代入原积分：
$$
\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2-1}} = \int \frac{\sec t \tan t \, dt}{\sec^3 t \cdot \tan t} = \int \frac{1}{\sec^2 t} \, dt = \int \cos^2 t \, dt
$$
公式：\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2-1}} = \int \cos^2 t \, dt
提示：约分时注意 $\sec t$ 和 $\tan t$ 的抵消，不要遗漏微分项。
步骤 3/5
目标：计算 $\int \cos^2 t \, dt$
利用二倍角公式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$，得：
$$
\int \cos^2 t \, dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2t) \, dt = \frac{1}{2} \left( t + \frac{\sin 2t}{2} \right) + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C
$$
公式：\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}, \quad \int \cos^2 t \, dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C
提示：积分 $\cos 2t$ 时不要忘记除以2。
步骤 4/5
目标：将结果换回变量 $x$
由 $x = \sec t$ 得 $t = \operatorname{arcsec} x$，且 $\cos t = \frac{1}{x}$，$\sin t = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$，于是：
$$
\sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2 \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\sqrt{x^2-1}}{x^2}
$$
代入得：
$$
\frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C = \frac{1}{2} \operatorname{arcsec} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2\sqrt{x^2-1}}{x^2} + C
$$
公式：\sin 2t = 2 \sin t \cos t = \frac{2\sqrt{x^2-1}}{x^2}
提示：注意 $\sin t$ 的正负由区间决定，此处取正。
步骤 5/5
目标：化简最终结果
化简第二项：$\frac{1}{4} \cdot \frac{2\sqrt{x^2-1}}{x^2} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{2x^2}$，因此：
$$
\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{2} \operatorname{arcsec} x + \frac{\sqrt{x^2-1}}{2x^2} + C
$$
公式：\boxed{\frac{1}{2}\operatorname{arcsec} x + \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{2x^{2}} + C}
提示：最终结果也可写成 $\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{2x^2} + C$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。