南京师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内周期为 $\displaystyle T(>0)$ 的连续函数，证明：
（1）任给 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty), \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x$ ；
（2）$\displaystyle \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明（1）：将积分区间从 [a, a+T] 变换到 [0, T]
令 $t = x - a$，则当 $x = a$ 时 $t = 0$，当 $x = a+T$ 时 $t = T$，且 $dx = dt$，于是
\[
\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(t+a) \, dt.
\]
公式：\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(t+a) \, dt
提示：注意换元后积分限的变化，不要忘记被积函数中的平移项 $a$。
步骤 2/5
目标：证明（1）：利用周期函数的平移性质处理积分
由于 $f$ 以 $T$ 为周期，即 $f(x+T) = f(x)$，但 $f(t+a)$ 不能直接等于 $f(t)$。我们采用区间分割法：将 $\int_a^{a+T} f(x)\,dx$ 拆分为 $\int_a^0 f(x)\,dx + \int_0^T f(x)\,dx + \int_T^{a+T} f(x)\,dx$。
公式：\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_a^0 f(x)\,dx + \int_0^T f(x)\,dx + \int_T^{a+T} f(x)\,dx
提示：这里假设 $a$ 可能不在 $[0,T]$ 内，但分割是通用的，注意积分上下限的符号。
步骤 3/5
目标：证明（1）：利用周期性抵消多余部分
对 $\int_T^{a+T} f(x)\,dx$ 作换元 $u = x - T$，得 $\int_0^a f(u+T)\,du = \int_0^a f(u)\,du$。而 $\int_a^0 f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx$，两者相加抵消，剩下 $\int_0^T f(x)\,dx$。
公式：\int_T^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^a f(u)\,du, \quad \int_a^0 f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx
提示：注意换元时 $du = dx$，且周期性 $f(u+T)=f(u)$ 是关键。
步骤 4/5
目标：证明（2）：将积分区间按周期分割
对任意 $x>0$，存在整数 $n$ 使得 $nT \le x < (n+1)T$。于是
\[
\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^{nT} f(t)\,dt + \int_{nT}^x f(t)\,dt.
\]
公式：\int_0^x f(t)\,dt = n \int_0^T f(t)\,dt + \int_{nT}^x f(t)\,dt
提示：这里利用了周期函数在每个周期上的积分相等：$\int_0^{nT} f(t)\,dt = n \int_0^T f(t)\,dt$。
步骤 5/5
目标：证明（2）：估计余项并取极限
由于 $f$ 连续，在 $[0,T]$ 上有界，设 $|f(t)| \le M$，则 $\left|\int_{nT}^x f(t)\,dt\right| \le M(x-nT) \le MT$。于是
\[
\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{x} I + \frac{1}{x}\int_{nT}^x f(t)\,dt,
\]
其中 $I = \int_0^T f(t)\,dt$。当 $x \to +\infty$ 时，$n \to \infty$，由 $nT \le x < (n+1)T$ 得 $\frac{n}{x} \to \frac{1}{T}$，且余项 $\left|\frac{1}{x}\int_{nT}^x f(t)\,dt\right| \le \frac{MT}{x} \to 0$。
公式：\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,dt
提示：注意夹逼准则：$\frac{n}{x}$ 的极限由 $nT \le x < (n+1)T$ 确定，余项趋于零是关键。
步骤 6/7
目标：估计剩余积分并处理极限
由于 $f$ 在闭区间上连续，故有界，设 $|f(t)| \le M$。则 $\left| \int_{nT}^x f(t)\,dt \right| \le M(x - nT) \le MT$。于是 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{x}A + \frac{1}{x} \int_{nT}^x f(t)\,dt$。由 $nT \le x < (n+1)T$ 得 $\frac{n}{x} \to \frac{1}{T}$ 当 $x \to +\infty$。第二项绝对值 $\le \frac{MT}{x} \to 0$。
公式：\frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{x}A + \frac{1}{x} \int_{nT}^x f(t)\,dt, \quad \left|\frac{1}{x} \int_{nT}^x f(t)\,dt\right| \le \frac{MT}{x}
提示：注意 $n$ 依赖于 $x$，但 $n/x \to 1/T$ 是核心，需用夹逼或不等式严格说明。
步骤 7/7
目标：得出第二问极限结果
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{n}{x}A \to \frac{A}{T}$，而 $\frac{1}{x} \int_{nT}^x f(t)\,dt \to 0$，因此 $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{A}{T} = \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,dt$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\,dt
提示：此结果可视为周期函数平均值的极限，与连续性和周期性密切相关。
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