南京师范大学 2015年数学分析第0题

将曲面积分视为向量场 $\mathbf{F} = \left( \frac{x-1}{r^3}, \frac{y-2}{r^3}, \frac{z-3}{r^3} \right)$ 通过曲面 $S$ 外侧的通量。计算散度： $$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x-1}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y-2}{r^3}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z-3}{r^3}\right)$$ 其中 $r = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2}$。 计算偏导： $$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x-1}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3(x-1)^2}{r^5}$$ 类似可得其他两项，相加得： $$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{3}{r^3} - \frac{3[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2]}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = 0$$ 当 $r > 0$ 时散度为零。

向量场在点 $P(1,2,3)$ 处无定义（$r=0$），该点为奇点。检查该点是否在长方体 $V$ 内部： $$x \in [-2,2], \quad y \in [-3,3], \quad z \in [-4,4]$$ 由于 $1 \in [-2,2]$，$2 \in [-3,3]$，$3 \in [-4,4]$，故奇点在长方体内部。因此不能直接对整个封闭曲面应用高斯公式得到零。

以 $P(1,2,3)$ 为球心，取半径 $\varepsilon$ 足够小的球面 $S_\varepsilon$（外侧方向指向球外）。考虑由长方体表面 $S$ 和 $S_\varepsilon$（取内侧方向）围成的区域，该区域内无奇点，散度处处为零。由高斯公式： $$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_\varepsilon(\text{内侧})} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0$$ 将内侧通量转化为外侧通量（内侧通量 = - 外侧通量）： $$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} - \iint_{S_\varepsilon(\text{外侧})} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0$$ 因此： $$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon(\text{外侧})} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

在球面 $S_\varepsilon$ 上，$r = \varepsilon$，外法向单位向量为： $$\mathbf{n} = \left( \frac{x-1}{\varepsilon}, \frac{y-2}{\varepsilon}, \frac{z-3}{\varepsilon} \right)$$ 向量场为： $$\mathbf{F} = \left( \frac{x-1}{\varepsilon^3}, \frac{y-2}{\varepsilon^3}, \frac{z-3}{\varepsilon^3} \right)$$ 点积： $$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2}{\varepsilon^4} = \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^4} = \frac{1}{\varepsilon^2}$$ 通量为： $$\iint_{S_\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon^2} \, dS = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4\pi \varepsilon^2 = 4\pi$$

由第三步的等式，原长方体外侧曲面积分等于小球面外侧通量： $$\iint_{S} \frac{x-1}{r^3} \, dy\,dz + \frac{y-2}{r^3} \, dz\,dx + \frac{z-3}{r^3} \, dx\,dy = 4\pi$$