南京师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
二、（15分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 为 $k$ 个正数．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{n}}+a_{2}^{\frac{1}{n}}+\cdots+a_{k}^{\frac{1}{n}}}{k}\right)^{n}$ ．
（2）令 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{k}^{x}}{k}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将第一问的极限转化为对数形式，便于处理指数
令 $L = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_1^{1/n} + a_2^{1/n} + \cdots + a_k^{1/n}}{k} \right)^n$，取自然对数得 $\ln L = \lim_{n\to\infty} n \ln\left( \frac{a_1^{1/n} + a_2^{1/n} + \cdots + a_k^{1/n}}{k} \right)$。
公式：$\ln L = \lim_{n\to\infty} n \ln\left( \frac{\sum_{i=1}^k a_i^{1/n}}{k} \right)$
提示：注意取对数后极限形式变为 $\infty \cdot 0$ 型，需进一步转化。
步骤 2/7
目标：变量替换，将对数极限转化为 $0/0$ 型
令 $t = 1/n$，则当 $n\to\infty$ 时 $t\to 0^+$，于是 $\ln L = \lim_{t\to 0^+} \frac{\ln\left( \frac{a_1^t + a_2^t + \cdots + a_k^t}{k} \right)}{t}$。
公式：$\ln L = \lim_{t\to 0^+} \frac{\ln\left( \frac{\sum_{i=1}^k a_i^t}{k} \right)}{t}$
提示：替换后为 $\frac{0}{0}$ 型，可使用等价无穷小或洛必达法则。
步骤 3/7
目标：利用指数函数的泰勒展开，简化分子
当 $t\to 0$ 时，$a_i^t = e^{t\ln a_i} = 1 + t\ln a_i + O(t^2)$，因此 $\frac{\sum_{i=1}^k a_i^t}{k} = 1 + \frac{t}{k}\sum_{i=1}^k \ln a_i + O(t^2)$。
公式：$\frac{\sum_{i=1}^k a_i^t}{k} = 1 + \frac{t}{k}\sum_{i=1}^k \ln a_i + O(t^2)$
提示：注意 $a_i>0$ 保证对数有意义，展开时保留到一阶项即可。
步骤 4/7
目标：应用等价无穷小，计算极限
由 $\ln(1+u) \sim u$（$u\to 0$），得 $\ln\left( \frac{\sum_{i=1}^k a_i^t}{k} \right) \sim \frac{t}{k}\sum_{i=1}^k \ln a_i$，代入极限得 $\ln L = \lim_{t\to 0^+} \frac{\frac{t}{k}\sum_{i=1}^k \ln a_i}{t} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \ln a_i = \ln\left( (a_1 a_2 \cdots a_k)^{1/k} \right)$。
公式：$\ln L = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \ln a_i$
提示：等价无穷小替换时需确保 $\frac{\sum a_i^t}{k} \to 1$，此处成立。
步骤 5/7
目标：得出第一问的最终结果
由 $\ln L = \ln\left( (a_1 a_2 \cdots a_k)^{1/k} \right)$，得 $L = (a_1 a_2 \cdots a_k)^{1/k}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_1^{1/n} + \cdots + a_k^{1/n}}{k} \right)^n = \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}$
提示：结果即为 $k$ 个正数的几何平均数。
步骤 6/7
目标：处理第二问，转化为与第一问相同的形式
令 $f(x) = \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_k^x}{k} \right)^{1/x}$，取对数得 $\ln f(x) = \frac{\ln\left( \frac{a_1^x + \cdots + a_k^x}{k} \right)}{x}$。注意到当 $x\to 0^+$ 时，令 $x = 1/n$，则 $n\to\infty$，与第一问极限形式完全一致。
公式：$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_1^{1/n} + \cdots + a_k^{1/n}}{k} \right)^n$
提示：第二问实质上是第一问的变量替换，无需重新计算。
步骤 7/7
目标：直接应用第一问结果，得出第二问答案
由第一问结果，$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}$。也可用相同展开验证：当 $x\to 0^+$，$\frac{\sum a_i^x}{k} = 1 + \frac{x}{k}\sum \ln a_i + O(x^2)$，取对数除以 $x$ 得 $\frac{1}{k}\sum \ln a_i$，指数化后得几何平均数。
公式：$\lim_{x\to 0^+} \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_k^x}{k} \right)^{1/x} = \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}$
提示：注意 $x\to 0^+$ 是右极限，因为 $x$ 出现在指数分母，需保证 $x>0$。
步骤 8/8
目标：计算第二问的极限
求和得 $\frac{a_1^x+\cdots+a_k^x}{k} = 1 + \frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k} x + O(x^2)$，取对数得 $\ln\left(\frac{a_1^x+\cdots+a_k^x}{k}\right) = \frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k} x + O(x^2)$，于是 $y = \frac{1}{x}\left(\frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k} x + O(x^2)\right) = \frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k} + O(x) \to \frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k}$，所以 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = e^{\frac{\ln(a_1\cdots a_k)}{k}} = (a_1\cdots a_k)^{1/k}$。
公式：$\lim_{x\to 0^+} f(x) = (a_1\cdots a_k)^{1/k}$
提示：注意 $x$ 趋于 $0^+$，与第一问本质相同。
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