南京师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）（1）证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续；
（2） $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内一致连续；
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 (1) 不一致连续
取 $\varepsilon_0 = 1$。构造点列 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，$y_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}$，则 $\sin\frac{1}{x_n} = 1$，$\sin\frac{1}{y_n} = -1$，差为 $2 > 1$。计算距离：$|x_n - y_n| = \frac{\pi}{4n^2\pi^2 - \frac{\pi^2}{4}} \to 0$（$n \to \infty$）。故对任意 $\delta > 0$，存在 $n$ 使 $|x_n - y_n| < \delta$ 但 $|\sin\frac{1}{x_n} - \sin\frac{1}{y_n}| = 2 \ge 1$，由定义知不一致连续。
公式：$|x_n - y_n| = \frac{\pi}{4n^2\pi^2 - \pi^2/4}$
提示：注意构造的点列要使得函数值差固定且非零，同时距离趋于0。
步骤 2/3
目标：证明 (2) 在 $[1, +\infty)$ 一致连续
对任意 $x, y \ge 1$，由 $\sin$ 的 Lipschitz 性质：$|\sin u - \sin v| \le |u - v|$，以及 $\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right| = \frac{|x-y|}{xy} \le |x-y|$（因为 $xy \ge 1$），得 $\left|\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{y}\right| \le |x-y|$。因此满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。
公式：$\left|\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{y}\right| \le \frac{|x-y|}{xy} \le |x-y|$
提示：利用复合函数 Lipschitz 性质，注意分母 $xy \ge 1$ 是关键。
步骤 3/3
目标：证明 (3) 由 $\sqrt{x}f'(x)$ 有界推出 $f(x)$ 一致连续
设 $|\sqrt{x}f'(x)| \le M$，则 $|f'(x)| \le \frac{M}{\sqrt{x}}$。分两段处理：
1. 在 $[1, +\infty)$ 上，$|f'(x)| \le M$，由拉格朗日中值定理得 $|f(x)-f(y)| \le M|x-y|$，一致连续。
2. 在 $(0,1]$ 上，取 $c = \left(\frac{\varepsilon}{2M}\right)^2$，当 $x,y \ge c$ 时，$|f(x)-f(y)| \le \frac{M}{\sqrt{c}}|x-y|$，取 $\delta_1 = \frac{\varepsilon\sqrt{c}}{M}$；当 $x,y \in (0,c]$ 时，$f$ 在闭区间 $[0,c]$ 上连续，故一致连续，存在 $\delta_2$。取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，并利用三角不等式处理跨过 $c$ 的情形，可得整体一致连续。
公式：$|f'(x)| \le \frac{M}{\sqrt{x}}$，$|f(x)-f(y)| \le \frac{M}{\sqrt{\xi}}|x-y|$
提示：注意靠近0处导数无界，需通过分区间和闭区间上连续性质处理，不能直接得到全局Lipschitz。
步骤 4/6
目标：证明在[1,+∞)上一致连续
当 $x \ge 1$ 时，$|f'(x)| \le M/\sqrt{x} \le M$，即导数有界。由拉格朗日中值定理，对任意 $x,y \ge 1$，存在 $\xi$ 介于 $x,y$ 之间，使得 $|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)||x-y| \le M|x-y|$。因此 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上 Lipschitz 连续，从而一致连续。
公式：|f(x)-f(y)| \le M|x-y|, \quad \forall x,y \ge 1
提示：这里直接利用导数有界得到Lipschitz条件，无需额外构造。
步骤 5/6
目标：证明在(0,1]上极限存在并延拓
考虑 $0 < a < b \le 1$，由牛顿-莱布尼茨公式和导数不等式：$|f(b)-f(a)| \le \int_a^b |f'(x)|dx \le \int_a^b \frac{M}{\sqrt{x}}dx = 2M(\sqrt{b}-\sqrt{a})$。令 $a \to 0^+$，则 $|f(b)-\lim_{a\to0^+}f(a)| \le 2M\sqrt{b}$，说明 $f$ 在 $x=0$ 附近满足柯西收敛准则，故极限 $\lim_{x\to0^+}f(x)$ 存在且有限。定义 $f(0)$ 为此极限，则 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，由康托尔定理知 $f$ 在 $[0,1]$ 上一致连续，从而在 $(0,1]$ 上一致连续。
公式：|f(b)-f(a)| \le 2M(\sqrt{b}-\sqrt{a})
提示：关键在于利用积分估计证明极限存在，从而将半开区间延拓为闭区间，应用一致连续性定理。注意不能直接对(0,1]用康托尔定理，因为区间不闭。
步骤 6/6
目标：综合两部分得到整体一致连续
函数 $f$ 在 $(0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ 上分别一致连续，且这两个区间有重叠部分（例如 $x=1$ 处），则 $f$ 在整个 $(0,+\infty)$ 上一致连续。严格证明：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$ 使在 $(0,1]$ 上满足定义，存在 $\delta_2>0$ 使在 $[1,+\infty)$ 上满足定义，取 $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$，则对任意 $x,y>0$ 且 $|x-y|<\delta$，若两点在同一区间则显然成立；若分属两个区间（如 $x<1
公式：一致连续的区间可加性：若函数在区间 $I_1$ 和 $I_2$ 上分别一致连续，且 $I_1 \cap I_2 \neq \varnothing$，则函数在 $I_1 \cup I_2$ 上一致连续。
提示：注意两个区间必须相交，否则不能直接合并。这里 $[1,+\infty)$ 和 $(0,1]$ 在 $x=1$ 处相交，故结论成立。
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