南京师范大学 2015年数学分析第0题

要求函数 $f(x,y,z) = \ln x + \ln y + 3\ln z$ 在条件 $x^2 + y^2 + z^2 = 5r^2$（$x,y,z>0$，$r>0$）下的最大值。由于对数函数单调递增，最大化 $f$ 等价于最大化 $g(x,y,z) = x y z^3$ 在相同约束下。

构造拉格朗日函数 $L = x y z^3 + \lambda (5r^2 - x^2 - y^2 - z^2)$。分别对 $x, y, z$ 求偏导并令其为零： 1. 对 $x$：$y z^3 - 2\lambda x = 0 \Rightarrow y z^3 = 2\lambda x$ 2. 对 $y$：$x z^3 - 2\lambda y = 0 \Rightarrow x z^3 = 2\lambda y$ 3. 对 $z$：$3x y z^2 - 2\lambda z = 0 \Rightarrow 3x y z = 2\lambda$（除以 $z>0$）

由前两个方程相除得 $\frac{y}{x} = \frac{x}{y}$，即 $x^2 = y^2$，由于 $x,y>0$，故 $x = y$。 将 $x=y$ 代入第一个方程得 $x z^3 = 2\lambda x$，即 $z^3 = 2\lambda$。 代入第三个方程得 $3x^2 z = 2\lambda$。 联立 $z^3 = 3x^2 z$，除以 $z>0$ 得 $z^2 = 3x^2$，所以 $z = \sqrt{3}x$。

将 $y=x$，$z = \sqrt{3}x$ 代入约束 $x^2 + y^2 + z^2 = 5r^2$： $x^2 + x^2 + 3x^2 = 5x^2 = 5r^2$，解得 $x^2 = r^2$，即 $x = r$（正数）。 因此 $y = r$，$z = \sqrt{3}r$。

最大值点为 $(r, r, \sqrt{3}r)$，代入 $f$： $f_{\max} = \ln r + \ln r + 3\ln(\sqrt{3}r) = 2\ln r + 3\ln\sqrt{3} + 3\ln r = 5\ln r + \frac{3}{2}\ln 3$。 对应的 $g_{\max} = x y z^3 = r \cdot r \cdot (\sqrt{3}r)^3 = 3\sqrt{3} r^5$。

令 $x^2 = a$，$y^2 = b$，$z^2 = c$，则 $a,b,c>0$。条件 $x^2+y^2+z^2 = 5r^2$ 变为 $a+b+c = 5r^2$。 此时 $x y z^3 = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{c})^3 = \sqrt{a b c^3}$。 由已得最大值：在约束下 $x y z^3 \le 3\sqrt{3} r^5$，代入 $r^2 = \frac{a+b+c}{5}$ 得 $r^5 = \left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5/2}$。 因此 $\sqrt{a b c^3} \le 3\sqrt{3} \left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5/2}$，两边平方即得 $a b c^3 \le 27 \left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5$。