南京师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
三、（15分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，
（1）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f((1-\cos x) \ln (1+x))}{\left(e^{x}-1\right) \sin x^{2}}$ ，
（2）若 $\displaystyle f(0)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析第(1)问极限的分子与分母的量级
当 $x \to +\infty$ 时，分母 $(e^x-1)\sin x^2$ 中，$e^x-1 \sim e^x$ 是指数增长，而 $\sin x^2$ 在 $[-1,1]$ 内振荡，不趋于零，因此分母的绝对值趋于 $+\infty$。分子中的自变量为 $(1-\cos x)\ln(1+x)$，由于 $|1-\cos x| \le 2$，故 $|(1-\cos x)\ln(1+x)| \le 2\ln(1+x)$，该自变量趋于 $+\infty$，但增长速度为对数级，远慢于分母的指数级。
公式：$|(1-\cos x)\ln(1+x)| \le 2\ln(1+x)$，分母 $\sim e^x \cdot \sin x^2$
提示：注意自变量并不趋于0，而是趋于无穷，不能直接使用导数定义。
步骤 2/5
目标：利用函数在0点可导的局部有界性处理分子
虽然自变量趋于无穷，但题目仅给出 $f$ 在 $x=0$ 处可导，未给出无穷远处的增长性。然而，在考研题常规假设下，$f$ 通常为初等函数或多项式增长，不会快于指数。因此，分子 $f((1-\cos x)\ln(1+x))$ 的增长速度至多为多项式或对数级，而分母是指数级，故比值趋于0。严格来说，可考虑沿子列 $x=2k\pi$ 时分子为 $f(0)=0$，但其他点也因分母巨大而趋于0。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{f((1-\cos x)\ln(1+x))}{(e^x-1)\sin x^2} = 0$
提示：若函数增长极快（如指数型），则极限可能不唯一，但题目未给此类条件，默认极限为0。
步骤 3/5
目标：第(2)问：将极限转化为指数形式
设 $L = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right)^n$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{n\to\infty} n \ln\left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right)$。由于 $f(0)>0$，对数有意义。
公式：$\ln L = \lim_{n\to\infty} n \ln\left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right)$
提示：取对数是处理幂指型极限的标准方法，注意 $f(0)>0$ 保证对数定义。
步骤 4/5
目标：利用可导性进行泰勒展开
因为 $f$ 在 $x=0$ 处可导，当 $h \to 0$ 时有 $f(h) = f(0) + f'(0)h + o(h)$。令 $h = 1/n$，则 $f(1/n) = f(0) + f'(0)\cdot\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$。于是 $\frac{f(1/n)}{f(0)} = 1 + \frac{f'(0)}{f(0)}\cdot\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$。
公式：$\frac{f(1/n)}{f(0)} = 1 + \frac{f'(0)}{f(0)}\cdot\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$
提示：注意 $o(1/n)$ 表示比 $1/n$ 高阶的无穷小，展开时需保留到一阶项。
步骤 5/5
目标：计算对数并求极限
对 $\frac{f(1/n)}{f(0)}$ 取对数，利用 $\ln(1+u) = u + o(u)$ 当 $u \to 0$，得 $\ln\left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right) = \frac{f'(0)}{f(0)}\cdot\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$。乘以 $n$ 得 $n \ln\left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right) = \frac{f'(0)}{f(0)} + o(1) \to \frac{f'(0)}{f(0)}$。因此 $\ln L = \frac{f'(0)}{f(0)}$，即 $L = e^{f'(0)/f(0)}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n \ln\left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right) = \frac{f'(0)}{f(0)}$，$L = e^{f'(0)/f(0)}$
提示：使用等价无穷小 $\ln(1+u) \sim u$ 时，需确保 $u \to 0$，这里 $u = \frac{f'(0)}{f(0)n} + o(1/n)$ 确实趋于0。
步骤 6/6
目标：得出第二问的极限结果
由 $\ln a_n \to \frac{f'(0)}{f(0)}$，得 $a_n \to e^{\frac{f'(0)}{f(0)}}$。因此所求极限为 $e^{\frac{f'(0)}{f(0)}}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{f(1/n)}{f(0)}\right)^n = e^{\frac{f'(0)}{f(0)}}$
提示：最终结果是指数形式，不要忘记 $e$ 的底数。
步骤 7/8
目标：将 $f(1/n)$ 在 $x=0$ 处展开
由导数定义，$f(1/n)=f(0)+f'(0)\cdot\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$。因此
$$\frac{f(1/n)}{f(0)} = 1 + \frac{f'(0)}{f(0)}\cdot\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right).$$
公式：$f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)$
提示：注意余项 $o(1/n)$ 必须保证。
步骤 8/8
目标：利用重要极限求极限
令 $a = \frac{f'(0)}{f(0)}$，则
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n = e^a = e^{\frac{f'(0)}{f(0)}}.$$
公式：$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{a}{n})^n=e^a$
提示：注意 $o(1/n)$ 项不影响极限结果。
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