南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
1．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件： $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right), n \in N_{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析数列的单调性与有界性，证明极限存在并求出极限值
已知 $0 < a_1 < 1$，递推关系为 $a_{n+1} = a_n(1 - a_n)$。由于 $0 < a_n < 1$ 时 $0 < 1 - a_n < 1$，因此 $a_{n+1} < a_n$，且 $a_n > 0$ 恒成立。故数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $0$，极限存在。设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，对递推式两边取极限得 $L = L(1 - L)$，解得 $L = 0$（若 $L \neq 0$ 则 $1 - L = 1$ 矛盾）。因此 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
公式：a_{n+1} = a_n(1 - a_n), \quad \lim_{n \to \infty} a_n = 0
提示：注意验证 $a_n$ 始终在 $(0,1)$ 内，这是单调递减的前提。
步骤 2/5
目标：通过渐近分析猜测 $n a_n$ 的极限
当 $a_n$ 很小时，$a_{n+1} = a_n - a_n^2$，这类似于微分方程 $\frac{da}{dn} \approx -a^2$。解此微分方程：$\frac{da}{a^2} = -dn$，积分得 $-\frac{1}{a} = -n + C$，即 $a_n \sim \frac{1}{n}$。这提示我们 $n a_n$ 可能有非零极限。
公式：a_{n+1} \approx a_n - a_n^2, \quad a_n \sim \frac{1}{n}
提示：渐近分析仅用于猜测，后续需要严格证明。
步骤 3/5
目标：构造倒数数列并推导递推关系
令 $b_n = \frac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n(1 - a_n)} = b_n \cdot \frac{1}{1 - a_n}$。计算差值：$b_{n+1} - b_n = b_n \left( \frac{1}{1 - a_n} - 1 \right) = b_n \cdot \frac{a_n}{1 - a_n} = \frac{1}{1 - a_n}$。由于 $a_n \to 0$，故 $b_{n+1} - b_n \to 1$。
公式：b_n = \frac{1}{a_n}, \quad b_{n+1} - b_n = \frac{1}{1 - a_n} \to 1
提示：注意 $b_{n+1} - b_n$ 的表达式化简，避免直接展开带来的误差。
步骤 4/5
目标：利用Stolz定理或等差数列性质求极限
由 $b_{n+1} - b_n \to 1$，根据Stolz定理（或等差数列的渐近性质），有 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = 1$。即 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n a_n} = 1$，因此 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 1$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} n a_n = 1
提示：Stolz定理要求分母严格单调趋于无穷，这里 $n$ 满足条件。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上步骤，数列 $\{a_n\}$ 满足 $0 < a_1 < 1$ 且 $a_{n+1} = a_n(1 - a_n)$ 时，极限 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 1$。
公式：\boxed{1}
提示：最终结果与初始值 $a_1$ 无关（只要在 $(0,1)$ 内）。
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