📝 南京师范大学 2019年数学分析真题

1．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件： $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right), n \in N_{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 。

2．用等价无穷小替换计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1-\cos x}$ 。

3．设函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right]=a$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 。

4、用定积分计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ 。

1．设函数 $u=f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明其梯度场是无旋场。

2．设 $p$ 表示原点到椭球面 $\displaystyle S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上任一点 $(x, y, z)$ 的切平面的距离，证明 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{p} d S=\frac{4 \pi}{3} a b c\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)$.

1．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n+x^{2}}$ 关于 $x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但不绝对收敛。

2．给出一个求正数 $a$ 的算术平方根的迭代算法，并分析算法的收玫阶。

1．设 $f, g \in C[a, b]$ ，且 $f, g$ 在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a, b)$ ，成立下列等式 $[f(b)-f(a)] g^{\prime}(\xi)=[g(b)-g(a)] f^{\prime}(\xi)$ 。

2．设 $\alpha>0$ ，证明 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-y x} x^{3} \cos x d x$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续。