南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $f, g \in C[a, b]$ ，且 $f, g$ 在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a, b)$ ，成立下列等式 $[f(b)-f(a)] g^{\prime}(\xi)=[g(b)-g(a)] f^{\prime}(\xi)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件和目标
已知 $f, g \in C[a, b]$，且在 $(a, b)$ 内可导。要证明存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)$。该等式可改写为 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) - [g(b)-g(a)] f'(\xi) = 0$，提示我们考虑构造辅助函数并应用罗尔定理。
公式：[f(b)-f(a)] g'(\xi) - [g(b)-g(a)] f'(\xi) = 0
提示：注意等式形式类似于两个函数差值的导数，可考虑构造线性组合的辅助函数。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
构造 $F(x) = [f(b)-f(a)] g(x) - [g(b)-g(a)] f(x)$。由于 $f, g$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，故 $F(x)$ 也在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导。
公式：F(x) = [f(b)-f(a)] g(x) - [g(b)-g(a)] f(x)
提示：辅助函数的形式来源于将目标等式中的导数视为某函数的导数。
步骤 3/5
目标：验证端点值相等
计算 $F(a)$ 和 $F(b)$：
$F(a) = [f(b)-f(a)] g(a) - [g(b)-g(a)] f(a)$
$F(b) = [f(b)-f(a)] g(b) - [g(b)-g(a)] f(b)$
作差得 $F(b)-F(a) = [f(b)-f(a)](g(b)-g(a)) - [g(b)-g(a)](f(b)-f(a)) = 0$，故 $F(a) = F(b)$。
公式：F(b)-F(a) = [f(b)-f(a)](g(b)-g(a)) - [g(b)-g(a)](f(b)-f(a)) = 0
提示：注意展开后两项完全相同，相减为零，不要遗漏符号。
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理
由 $F$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $F(a)=F(b)$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(x) = [f(b)-f(a)] g'(x) - [g(b)-g(a)] f'(x)$，代入 $\xi$ 得 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) - [g(b)-g(a)] f'(\xi) = 0$，即 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)$。
公式：F'(\xi) = [f(b)-f(a)] g'(\xi) - [g(b)-g(a)] f'(\xi) = 0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导且端点值相等，缺一不可。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得等式 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)$ 成立。
公式：[f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)
提示：该结论是柯西中值定理的一种形式，但此处通过构造辅助函数直接证明。
步骤 6/6
目标：计算导数并得出结论
计算 $F'(x) = [f(b)-f(a)] g'(x) - [g(b)-g(a)] f'(x)$。令 $x = \xi$ 得 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) - [g(b)-g(a)] f'(\xi) = 0$，移项即得 $[f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)$。
公式：[f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)
提示：导数计算时注意常数系数不变，最终等式即为题目所证。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此存在 $\xi \in (a,b)$ 使得等式成立。证毕。
提示：结论已得，注意题目要求的是存在性。
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