南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2．给出一个求正数 $a$ 的算术平方根的迭代算法，并分析算法的收玫阶。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造迭代公式
求正数 $a$ 的算术平方根等价于求解方程 $f(x) = x^2 - a = 0$ 的正根。应用牛顿迭代法 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中 $f'(x) = 2x$，代入得 $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - a}{2x_n} = \frac{x_n^2 + a}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$。
公式：x_{n+1} = \frac{1}{2}\left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)
提示：注意初始值 $x_0$ 必须为正数，否则迭代可能不收敛到正根。
步骤 2/5
目标：误差分析与收敛阶推导
设 $e_n = x_n - \sqrt{a}$ 为第 $n$ 步的误差。将 $x_n = \sqrt{a} + e_n$ 代入迭代公式：$x_{n+1} = \frac{\sqrt{a} + e_n + \frac{a}{\sqrt{a} + e_n}}{2}$。对 $\frac{a}{\sqrt{a} + e_n}$ 进行泰勒展开：$\frac{a}{\sqrt{a} + e_n} = \sqrt{a} \left(1 - \frac{e_n}{\sqrt{a}} + \frac{e_n^2}{a} - \cdots\right) = \sqrt{a} - e_n + \frac{e_n^2}{\sqrt{a}} - \cdots$。代入得 $x_{n+1} = \frac{2\sqrt{a} + \frac{e_n^2}{\sqrt{a}} + \cdots}{2} = \sqrt{a} + \frac{e_n^2}{2\sqrt{a}} + \cdots$，因此 $e_{n+1} = x_{n+1} - \sqrt{a} \approx \frac{1}{2\sqrt{a}} e_n^2$。
公式：e_{n+1} \approx \frac{1}{2\sqrt{a}} e_n^2
提示：泰勒展开时假设 $|e_n|$ 很小，这仅在迭代接近收敛时成立；初始阶段误差可能不满足此关系。
步骤 3/5
目标：严格证明收敛阶为2
由迭代公式可得精确的误差递推关系：$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2(\sqrt{a} + e_n)}$。当 $e_n \to 0$ 时，分母趋于 $2\sqrt{a}$，因此极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{|e_{n+1}|}{|e_n|^2} = \frac{1}{2\sqrt{a}} \neq 0$，根据收敛阶的定义，该迭代法具有二阶收敛（平方收敛）。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{|e_{n+1}|}{|e_n|^2} = \frac{1}{2\sqrt{a}}
提示：注意收敛阶的定义是极限存在且非零，这里极限非零说明确实是二阶，而不是更高阶。
步骤 4/5
目标：算法步骤描述
1. 选取初始猜测 $x_0 > 0$（例如可取 $x_0 = a$ 或 $x_0 = 1$）。
2. 对 $n = 0,1,2,\dots$ 迭代计算：$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$。
3. 当 $|x_{n+1} - x_n|$ 小于给定精度 $\epsilon$ 时停止，输出 $x_{n+1}$ 作为 $\sqrt{a}$ 的近似值。
公式：x_{n+1} = \frac{1}{2}\left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)
提示：初始值选择会影响迭代次数，但理论上任何正数初始值都能收敛；实际中常用 $x_0 = a$ 或 $x_0 = 1$。
步骤 5/5
目标：收敛性说明
可以证明，对于任意 $x_0 > 0$，迭代序列 $\{x_n\}$ 单调递减且下有界（当 $x_0 > \sqrt{a}$ 时），或单调递增且上有界（当 $x_0 < \sqrt{a}$ 时），最终收敛到 $\sqrt{a}$。收敛速度在接近根时由二阶收敛决定。
提示：注意：若 $x_0$ 为负数，迭代可能收敛到 $-\sqrt{a}$，因此题目要求正数 $a$ 的算术平方根，初始值应取正。
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