南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $u=f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明其梯度场是无旋场。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出梯度场的表达式
函数 $u = f(x, y, z)$ 的梯度是一个向量场：
$$\nabla u = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$
公式：$\nabla u = (f_x, f_y, f_z)$
提示：注意梯度是一个向量，每个分量是偏导数。
步骤 2/6
目标：写出旋度的定义
对于向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，旋度定义为：
$$\operatorname{rot} \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$
此处 $P = \frac{\partial f}{\partial x}$, $Q = \frac{\partial f}{\partial y}$, $R = \frac{\partial f}{\partial z}$。
公式：$\operatorname{rot} \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$
提示：旋度是一个向量，其分量由偏导数的差构成。
步骤 3/6
目标：计算旋度的 x 分量
旋度的 $x$ 分量为：
$$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) - \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}$$
由于 $f$ 具有二阶连续偏导数，混合偏导数与次序无关：$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}$，因此该项为零。
公式：$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}$
提示：二阶连续偏导数是混合偏导数可交换顺序的前提条件。
步骤 4/6
目标：计算旋度的 y 分量
旋度的 $y$ 分量为：
$$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) - \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}$$
由混合偏导数的对称性：$\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}$，因此该项为零。
公式：$\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}$
提示：注意求导顺序的交换，结果相同。
步骤 5/6
目标：计算旋度的 z 分量
旋度的 $z$ 分量为：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) - \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$
由混合偏导数的对称性：$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$，因此该项为零。
公式：$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$
提示：三个分量都为零，旋度即为零向量。
步骤 6/6
目标：得出结论
旋度的三个分量均为零，因此：
$$\operatorname{rot}(\nabla f) = \mathbf{0}$$
即梯度场是无旋场。
公式：$\operatorname{rot}(\nabla f) = \mathbf{0}$
提示：无旋场意味着旋度处处为零，这是梯度场的一个重要性质。
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