南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2．用等价无穷小替换计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1-\cos x}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：处理分母，应用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，因此分母可替换为 $\frac{x^2}{2}$。
公式：$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$x \to 0$ 时成立，且替换后极限形式不变。
步骤 2/5
目标：将分子中的余弦函数展开到二阶项
利用 $\cos u = 1 - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$，分别展开：
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，
$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 1 - 2x^2 + o(x^2)$，
$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2} + o(x^2) = 1 - \frac{9x^2}{2} + o(x^2)$。
公式：$\cos u = 1 - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$
提示：展开时只需保留到 $x^2$ 项，更高阶项在极限中不影响结果。
步骤 3/5
目标：计算三个余弦的乘积，保留到 $x^2$ 项
先计算 $\cos x \cos 2x$：
$(1 - \frac{x^2}{2})(1 - 2x^2) = 1 - 2x^2 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{5}{2}x^2 + o(x^2)$。
再乘 $\cos 3x$：
$(1 - \frac{5}{2}x^2)(1 - \frac{9}{2}x^2) = 1 - \frac{9}{2}x^2 - \frac{5}{2}x^2 + O(x^4) = 1 - 7x^2 + o(x^2)$。
公式：$\cos x \cos 2x \cos 3x = 1 - 7x^2 + o(x^2)$
提示：乘积展开时注意合并同类项，忽略 $x^4$ 及更高阶项。
步骤 4/5
目标：得到分子的等价无穷小形式
分子 $1 - \cos x \cos 2x \cos 3x = 1 - [1 - 7x^2 + o(x^2)] = 7x^2 + o(x^2)$，即 $1 - \cos x \cos 2x \cos 3x \sim 7x^2$。
公式：$1 - \cos x \cos 2x \cos 3x \sim 7x^2$
提示：注意符号：减去展开结果后得到正项 $7x^2$。
步骤 5/5
目标：代入极限并计算最终结果
将分子和分母的等价无穷小代入：
$\lim_{x \to 0} \frac{7x^2}{\frac{x^2}{2}} = 7 \times 2 = 14$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{7x^2}{x^2/2} = 14$
提示：约去 $x^2$ 时注意 $x \neq 0$，但极限过程 $x \to 0$ 不影响。
步骤 6/6
目标：代入极限并计算
将分子和分母的等价无穷小代入原极限：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos 2x \cos 3x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{7x^2}{\frac{x^2}{2}} = 7 \times 2 = 14
\]
公式：\lim_{x \to 0} \frac{7x^2}{x^2/2} = 14
提示：计算时注意 $\frac{7x^2}{x^2/2} = 7 \times 2 = 14$。
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