南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $\alpha>0$ ，证明 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-y x} x^{3} \cos x d x$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的结论
我们要证明对于任意给定的 $0<\alpha<\beta$，含参积分 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-y x} x^{3} \cos x \, dx$ 在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 上关于 $y$ 连续。
公式：I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-y x} x^{3} \cos x \, dx
提示：注意 $\alpha>0$ 是保证指数衰减的关键条件。
步骤 2/5
目标：回顾含参积分连续性定理
含参积分连续性定理：若函数 $f(x,y)$ 在区域 $[0,+\infty)\times[\alpha,\beta]$ 上连续，且积分 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dx$ 关于 $y\in[\alpha,\beta]$ 一致收敛，则 $I(y)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续。因此只需验证被积函数的连续性和积分的一致收敛性。
公式：\text{定理：连续}+\text{一致收敛}\Rightarrow \text{积分连续}
提示：一致收敛是应用该定理的关键，不能仅凭逐点收敛。
步骤 3/5
目标：验证被积函数的连续性
令 $f(x,y)=e^{-y x} x^{3} \cos x$。对于任意固定的 $y>0$，$f(x,y)$ 作为 $x$ 的函数在 $[0,+\infty)$ 上连续（指数函数、幂函数、三角函数的复合与乘积连续）；对于任意固定的 $x\ge 0$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数也连续。因此 $f(x,y)$ 在 $[0,+\infty)\times[\alpha,\beta]$ 上连续。
公式：f(x,y)=e^{-y x} x^{3} \cos x
提示：连续性直观显然，但需注意 $x=0$ 处 $x^3$ 使函数值为0，无奇点。
步骤 4/5
目标：证明积分的一致收敛性
由于 $y\in[\alpha,\beta]$ 且 $\alpha>0$，有 $e^{-y x}\le e^{-\alpha x}$。又 $|\cos x|\le 1$，故 $|e^{-y x} x^{3} \cos x|\le e^{-\alpha x} x^{3}$。考虑控制函数 $g(x)=e^{-\alpha x} x^{3}$，其积分收敛：$\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} x^{3}\,dx = \frac{3!}{\alpha^{4}} = \frac{6}{\alpha^{4}}<+\infty$。由Weierstrass M-判别法，原积分在 $[\alpha,\beta]$ 上一致收敛。
公式：|e^{-y x} x^{3} \cos x|\le e^{-\alpha x} x^{3},\quad \int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} x^{3}\,dx = \frac{6}{\alpha^{4}}
提示：控制函数必须与 $y$ 无关，且积分收敛；这里 $\alpha>0$ 保证了指数衰减。
步骤 5/5
目标：应用定理得出结论
被积函数 $f(x,y)$ 连续，且积分在 $[\alpha,\beta]$ 上一致收敛，由含参积分连续性定理，$I(y)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续。由于 $\alpha>0$ 是任意取的，结论对任意正闭区间成立。
公式：I(y)\in C[\alpha,\beta]
提示：注意区间端点 $\alpha$ 不能为0，否则指数衰减失效，需单独讨论。
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